Dzień dobry
Mam bardzo dużo zadań z ciągów, które mi w ogóle nie idą. Proszę o pomoc.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \in (0;1) \cup (1; \infty )}\) liczby \(\displaystyle{ \log _{2}x}\), \(\displaystyle{ \log _{m}x }\), \(\displaystyle{ \log _{4} x}\) tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(\displaystyle{ m}\). Jak policzyć \(\displaystyle{ m}\), jak nie znamy \(\displaystyle{ x}\)?
Ciąg arytmetyczny z logarytmami
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Ciąg arytmetyczny z logarytmami
Lemat: Dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ \lg_4x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\lg_2 x }\)
\(\displaystyle{ (2)}\) wstaw to do warunku na ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ \lg_2 x+\lg_4 x= 2\lg_m x}\)
PS Zrób zadanie sprytnie. Skoro twierdzenie ma działać dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) to powinno działać też dla szczególnego \(\displaystyle{ x=4}\). To nie dowód ogólnego przypadku ale czasem warto rozważyć konkretny przypadek by nauczyć się czegoś o ogólnym.
PPS Spróbuj udowodnić powyższy lemat. Nie upieram się też przy tej metodzie rozwiązania pewnie można inaczej.
\(\displaystyle{ \lg_{a^c}b= \frac{1}{c}\lg_a b }\)
wskazówka: Stosując powyższe zapisz: \(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ \lg_4x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\lg_2 x }\)
\(\displaystyle{ (2)}\) wstaw to do warunku na ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ \lg_2 x+\lg_4 x= 2\lg_m x}\)
PS Zrób zadanie sprytnie. Skoro twierdzenie ma działać dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) to powinno działać też dla szczególnego \(\displaystyle{ x=4}\). To nie dowód ogólnego przypadku ale czasem warto rozważyć konkretny przypadek by nauczyć się czegoś o ogólnym.
PPS Spróbuj udowodnić powyższy lemat. Nie upieram się też przy tej metodzie rozwiązania pewnie można inaczej.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg arytmetyczny z logarytmami
Dzięki ^^ Czyli można sobie podstawić iksa... Myślałam, że nie można, ale skoro można, to już umiem.
-
- Administrator
- Posty: 34233
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Ciąg arytmetyczny z logarytmami
W ogólności - nie można:
JKJanusz Tracz pisze: ↑12 mar 2021, o 11:17To nie dowód ogólnego przypadku ale czasem warto rozważyć konkretny przypadek by nauczyć się czegoś o ogólnym.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg arytmetyczny z logarytmami
Panowie, nie jestem w nastroju w tworzenie wątków na kilka stron o dowodach. Dziękuję za pomoc i kończę temat.