ciągi

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
matura2021
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 29 lis 2020, o 13:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 16 razy

ciągi

Post autor: matura2021 » 27 sty 2021, o 17:11

Trzy liczby,których suma wynosi 91, tworzą rosnący ciąg geometryczny.Jednocześnie liczby te są pierwszym,drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycnzego.Wyznacz te liczby.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15587
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: ciągi

Post autor: Premislav » 27 sty 2021, o 17:24

Oznaczmy najmniejszą z tych liczb przez \(\displaystyle{ x}\), zaś iloraz ciągu geometrycznego, który te liczby tworzą, przez \(\displaystyle{ q}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\left(1+q+q^{2}\right)=91\\3(qx-x)=\left(q^{2}x-qx\right) \end{cases}}\)

Z drugiego równania natychmiast dostajemy
\(\displaystyle{ qx=x\vee q=3}\), pierwszy z tych przypadków odrzucamy, bo wtedy \(\displaystyle{ q=1\vee x=0}\), czyli wyrazy nie tworzą rosnącego ciągu geometrycznego, wbrew założeniom, zostaje więc \(\displaystyle{ q=3}\). Podstawiamy do pierwszego równania i dalej łatwo.

matura2021
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 29 lis 2020, o 13:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 16 razy

Re: ciągi

Post autor: matura2021 » 27 sty 2021, o 17:30

a skąd 2 równanie się wzięło

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15587
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: ciągi

Post autor: Premislav » 27 sty 2021, o 17:57

Liczby \(\displaystyle{ x, \ qx, \ q^{2}x}\) są odpowiednio pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego.
Różnica w tym ciągu arytmetycznym jest więc równa \(\displaystyle{ r=qx-x}\) (różnica sąsiednich wyrazów w ciągu), a różnica między piątym a drugim wyrazem to w takiej sytuacji \(\displaystyle{ a_{5}-a_{2}=(a_{5}-a_{4})+(a_{4}-a_{3})+(a_{3}-a_{2})=r+r+r=3r=3\left(qx-x\right)}\).

ODPOWIEDZ