Matematyka.pl

Trzy liczby,których suma wynosi 91, tworzą rosnący ciąg geometryczny.Jednocześnie liczby te są pierwszym,drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycnzego.Wyznacz te liczby.

Oznaczmy najmniejszą z tych liczb przez \(\displaystyle{ x}\), zaś iloraz ciągu geometrycznego, który te liczby tworzą, przez \(\displaystyle{ q}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\left(1+q+q^{2}\right)=91\\3(qx-x)=\left(q^{2}x-qx\right) \end{cases}}\)

Z drugiego równania natychmiast dostajemy
\(\displaystyle{ qx=x\vee q=3}\), pierwszy z tych przypadków odrzucamy, bo wtedy \(\displaystyle{ q=1\vee x=0}\), czyli wyrazy nie tworzą rosnącego ciągu geometrycznego, wbrew założeniom, zostaje więc \(\displaystyle{ q=3}\). Podstawiamy do pierwszego równania i dalej łatwo.

a skąd 2 równanie się wzięło

Liczby \(\displaystyle{ x, \ qx, \ q^{2}x}\) są odpowiednio pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego.
Różnica w tym ciągu arytmetycznym jest więc równa \(\displaystyle{ r=qx-x}\) (różnica sąsiednich wyrazów w ciągu), a różnica między piątym a drugim wyrazem to w takiej sytuacji \(\displaystyle{ a_{5}-a_{2}=(a_{5}-a_{4})+(a_{4}-a_{3})+(a_{3}-a_{2})=r+r+r=3r=3\left(qx-x\right)}\).