Szczególne ciągi

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Szczególne ciągi

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k>0}\) jest liczbą całkowitą, to istnieje ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1}, ...., \frac{a_k}{b_k} }\) (nieskracalne ułamki) taki, że wszystkie \(\displaystyle{ a_1, b_1,..., a_k,b_k}\) są różne.
:arrow:
Ukryta treść:    
Mlodociany calkowicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 sty 2021, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Pomógł: 2 razy

Re: Szczególne ciągi

Post autor: Mlodociany calkowicz »

Dla \(\displaystyle{ k = 1}\) dowód jest oczywisty.
Niech \(\displaystyle{ k = 2}\)
Wówczas \(\displaystyle{ a_1 = 1}\), \(\displaystyle{ b_1 = 12}\), \(\displaystyle{ a_2 = 2}\), \(\displaystyle{ b_2 = 3}\) spełniają warunki twierdzenia.
Przejdźmy teraz do właściwego dowodu.

Niech \(\displaystyle{ k>2}\) i \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)
Niech \(\displaystyle{ q = k!}\)
Niech \(\displaystyle{ a_1 = k! + 1}\)
Niech \(\displaystyle{ b_1 = k!}\)
Przykład:
Dla \(\displaystyle{ k=4}\) mamy \(\displaystyle{ 2^3 | k!}\), \(\displaystyle{ 3^1|k!}\) i są to najwyższe wykładniki, które spełniają ten warunek, więc \(\displaystyle{ p(k!)_2 = 3}\), \(\displaystyle{ p(k!)_3 = 1}\), \(\displaystyle{ p(k!)_5 = 0}\) itd.

Niech \(\displaystyle{ c_n = \frac{n-1+ a_1}{q}}\)
Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy
\(\displaystyle{ r = \frac{1}{k!}}\)

Nie da się ukryć, że \(\displaystyle{ (\forall n \le k)(a_1 \equiv 1 \mod n)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ (\forall k\ge m \ge n )((n-1) + a_1 \equiv n \mod m)}\)
Słowem \(\displaystyle{ NWD((n-1)+a_1,q) = n}\)

A więc

\(\displaystyle{ a_n = \frac{k!}{n} + 1}\)
\(\displaystyle{ b_n = \frac{k!}{n}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{k!}{1} > \frac{k!}{2} > \frac{k!}{3} \ldots}\), wobec czego również \(\displaystyle{ \frac{k!}{1} + 1> \frac{k!}{2}+1> \frac{k!}{3}+1 \ldots}\)
Dlatego też ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest malejący a więc różnowartościowy, tak, jak i ciąg \(\displaystyle{ b}\).

Udowodnimy teraz, że żaden wyraz ciągu \(\displaystyle{ a}\) nie jest równy jakiemuś wyrazowi ciągu \(\displaystyle{ b}\), a uczynimy to przez udowodnienie następującej nierówności:

\(\displaystyle{ b_{n} < a_n < b_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n<k}\)

Lewa nierówność jest oczywista.

Niewątpliwie \(\displaystyle{ k! > n-1}\)
\(\displaystyle{ 1 >\frac{n-1}{k!}}\)
\(\displaystyle{ 0 > \frac{n-1}{k!} -1}\)
\(\displaystyle{ n > n-1 + \frac{n-1}{k!}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k!}{n-1} > \frac{k!}{n} + 1}\)


A zatem \(\displaystyle{ a_1 > b_1 > a_2 > b_2 > a_3 > b_3 \ldots > a_k > b_k}\)

Co kończy dowód.

Dodano po 4 godzinach 54 minutach 11 sekundach:
Zauważyłem parę błędów, które jednak nie qpływają na wynik.
Dla \(\displaystyle{ k = 1}\) dowód jest oczywisty.
Niech \(\displaystyle{ k = 2}\)
Wówczas \(\displaystyle{ a_1 = 1}\), \(\displaystyle{ b_1 = 12}\), \(\displaystyle{ a_2 = 2}\), \(\displaystyle{ b_2 = 3}\) spełniają warunki twierdzenia.
Przejdźmy teraz do właściwego dowodu.

Niech \(\displaystyle{ k>2}\) i \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)
Niech \(\displaystyle{ q = k!}\)
Niech \(\displaystyle{ a_1 = k! + 1}\)
Niech \(\displaystyle{ b_1 = k!}\)

Niech \(\displaystyle{ c_n = \frac{n-1+ a_1}{q}}\)
Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy
\(\displaystyle{ r = \frac{1}{k!}}\)

Nie da się ukryć, że \(\displaystyle{ (\forall n \le k)(a_1 \equiv 1 \mod n)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ (\forall k\ge m \ge n )((n-1) + a_1 \equiv n \mod m)}\)
Słowem \(\displaystyle{ NWD((n-1)+a_1,q) = n}\)

A więc

\(\displaystyle{ a_n = \frac{k!}{n} + 1}\)
\(\displaystyle{ b_n = \frac{k!}{n}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{k!}{1} > \frac{k!}{2} > \frac{k!}{3} \ldots}\), wobec czego również \(\displaystyle{ \frac{k!}{1} + 1> \frac{k!}{2}+1> \frac{k!}{3}+1 \ldots}\)
Dlatego też ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest malejący a więc różnowartościowy, tak, jak i ciąg \(\displaystyle{ b}\).

Udowodnimy teraz, że żaden wyraz ciągu \(\displaystyle{ a}\) nie jest równy jakiemuś wyrazowi ciągu \(\displaystyle{ b}\), a uczynimy to przez udowodnienie następującej nierówności:

\(\displaystyle{ b_{n} < a_n < b_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n<k}\)

Lewa nierówność jest oczywista.

Niewątpliwie \(\displaystyle{ k! > n(n-1)}\)
\(\displaystyle{ 1 >\frac{n(n-1)}{k!}}\)
\(\displaystyle{ 0 > \frac{n(n-1)}{k!} -1}\)
\(\displaystyle{ n > n-1 + \frac{n(n-1)}{k!}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k!}{n-1} > \frac{k!}{n} + 1}\)


A zatem \(\displaystyle{ a_1 > b_1 > a_2 > b_2 > a_3 > b_3 \ldots > a_k > b_k}\)

Co kończy dowód.
ODPOWIEDZ