Ciąg geometryczny - udowadnianie

[Magenta]

Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest geometryczny. Wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) określony wzorem \(\displaystyle{ b_{n} = a_{n} + a_{n+1}}\) jest również ciągiem geometrycznym. Jaki jest iloraz tego ciągu?

[soku11]

Niech \(\displaystyle{ a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\}\)

Liczymy \(\displaystyle{ b_n}\):
\(\displaystyle{ b_n=a_1q^{n-1}+a_1q^{n}=a_1q^{n-1}+a_1q^{n-1}q=
a_1q^{n-1}(1+q)=a_1(1+q)q^{n-1}\\
b_{n+1}=a_1(1+q)q^n\\
\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{a_1(1+q)q^n}{a_1(1+q)q^{n-1}}=
\frac{q^{n-1}q}{q^{n-1}}=q}\)

Z czego widac, ze stosunek wynosi q, czyli jest to ciag geometryczny. POZDRO

[Magenta]

Dziękuję za rozwiązanie.