Ciąg geometryczny sześcianów
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Ciąg geometryczny sześcianów
Dzień dobry, proszę o pomoc, ja mam dzisiaj bardzo proste pytanie.
Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ -4}\), a suma sześcianów tych wyrazów \(\displaystyle{ -192}\), oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
W ściądze jest napisane, że \(\displaystyle{ -192= \frac{a_{1}^{3}}{1-q^{3}} }\). Tylko skąd się to wzięło?
Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ -4}\), a suma sześcianów tych wyrazów \(\displaystyle{ -192}\), oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
W ściądze jest napisane, że \(\displaystyle{ -192= \frac{a_{1}^{3}}{1-q^{3}} }\). Tylko skąd się to wzięło?
Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ciąg geometryczny sześcianów
Rzeczywiście, pierwsze co wypadałoby znać i wiedzieć, skąd się to bierze, to wzór na sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, czyli własnie
\(\displaystyle{ (1+q+q^2+\ldots +q^{n-1})(1-q)}\).
Spróbuj sobie wymnożyć te dwa nawiasy (jeśli przeszkadzają Ci te kropki, to wstaw sobie np \(\displaystyle{ n=5}\) i zobacz, jak to działa i fajnie się prawie wszystkie skraca).
Wydaje mi się, że najprościej go udowodnić, patrząc na to, ile jest równy taki iloczyn:Niepokonana pisze: ↑8 maja 2020, o 16:28 Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
\(\displaystyle{ (1+q+q^2+\ldots +q^{n-1})(1-q)}\).
Spróbuj sobie wymnożyć te dwa nawiasy (jeśli przeszkadzają Ci te kropki, to wstaw sobie np \(\displaystyle{ n=5}\) i zobacz, jak to działa i fajnie się prawie wszystkie skraca).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg geometryczny sześcianów
Tylko skąd się wziął nawias \(\displaystyle{ (1-q)}\)? Ok, to jest łatwe.Tmkk pisze: ↑8 maja 2020, o 16:33 Rzeczywiście, pierwsze co wypadałoby znać i wiedzieć, skąd się to bierze, to wzór na sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, czyli własnie
Wydaje mi się, że najprościej go udowodnić, patrząc na to, ile jest równy taki iloczyn:Niepokonana pisze: ↑8 maja 2020, o 16:28 Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
\(\displaystyle{ (1+q+q^2+\ldots +q^{n-1})(1-q)}\).
Spróbuj sobie wymnożyć te dwa nawiasy (jeśli przeszkadzają Ci te kropki, to wstaw sobie np \(\displaystyle{ n=5}\) i zobacz, jak to działa i fajnie się prawie wszystkie skraca).
To będzie \(\displaystyle{ 1+q+q^{2}+...q^{n-1}-q-q^{2}-q^{3}-...-q^{n}=1-q^{n}}\). Tylko co to nam daje
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ciąg geometryczny sześcianów
Skoro
\(\displaystyle{ (1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1})(1-q) = 1-q^n}\),
to (zakładając, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\))
\(\displaystyle{ 1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)
i mnożąc przez \(\displaystyle{ a_1}\) dostajesz wzór, o który pytałaś : ) Czy to jest jasne?
\(\displaystyle{ (1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1})(1-q) = 1-q^n}\),
to (zakładając, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\))
\(\displaystyle{ 1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)
i mnożąc przez \(\displaystyle{ a_1}\) dostajesz wzór, o który pytałaś : ) Czy to jest jasne?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg geometryczny sześcianów
Aaaaa dobra. Czyli najpierw wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ a_{1}}\) potem mnożymy przez nawias, żeby się skróciło i potem dzielimy przez ten nawias. Tak, rozumiem i na sześciany się przestawia podobnie, co nie?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ciąg geometryczny sześcianów
Sześciany podobnie, po prostu zamiast \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ q}\), pojawią się \(\displaystyle{ a_1^3}\) oraz \(\displaystyle{ q^3}\) - ale to akurat dobrze widać, jak się po prostu podstawi.
Tak czy inaczej, jak widać z zadania, mamy do czynienia z nieskończonym ciągiem geometrycznym, a wzór, który dowiedliśmy, jest dla \(\displaystyle{ n}\) pierwszych - czyli skończenie wielu wyrazów. Potrzebujemy wzór na sumę wszystkich wyrazów w tym ciągu, czyli wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Więc zanim przejdziemy do sześcianów, musimy się dowiedzieć, jak ze wzoru
\(\displaystyle{ 1+q+q^2 \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)
wynika wzór
\(\displaystyle{ 1+q+q^2 + \ldots = \frac{1}{1-q}}\)
i kiedy jest on w ogóle prawdziwy.
Tak czy inaczej, jak widać z zadania, mamy do czynienia z nieskończonym ciągiem geometrycznym, a wzór, który dowiedliśmy, jest dla \(\displaystyle{ n}\) pierwszych - czyli skończenie wielu wyrazów. Potrzebujemy wzór na sumę wszystkich wyrazów w tym ciągu, czyli wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Więc zanim przejdziemy do sześcianów, musimy się dowiedzieć, jak ze wzoru
\(\displaystyle{ 1+q+q^2 \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)
wynika wzór
\(\displaystyle{ 1+q+q^2 + \ldots = \frac{1}{1-q}}\)
i kiedy jest on w ogóle prawdziwy.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy