Ciąg geometryczny sześcianów

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry, proszę o pomoc, ja mam dzisiaj bardzo proste pytanie.
Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ -4}\), a suma sześcianów tych wyrazów \(\displaystyle{ -192}\), oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
W ściądze jest napisane, że \(\displaystyle{ -192= \frac{a_{1}^{3}}{1-q^{3}} }\). Tylko skąd się to wzięło?
Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Tmkk »

Rzeczywiście, pierwsze co wypadałoby znać i wiedzieć, skąd się to bierze, to wzór na sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, czyli własnie
Niepokonana pisze: 8 maja 2020, o 16:28 Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
Wydaje mi się, że najprościej go udowodnić, patrząc na to, ile jest równy taki iloczyn:

\(\displaystyle{ (1+q+q^2+\ldots +q^{n-1})(1-q)}\).

Spróbuj sobie wymnożyć te dwa nawiasy (jeśli przeszkadzają Ci te kropki, to wstaw sobie np \(\displaystyle{ n=5}\) i zobacz, jak to działa i fajnie się prawie wszystkie skraca).
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: JHN »

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_geometryczny


Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Niepokonana »

Tmkk pisze: 8 maja 2020, o 16:33 Rzeczywiście, pierwsze co wypadałoby znać i wiedzieć, skąd się to bierze, to wzór na sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, czyli własnie
Niepokonana pisze: 8 maja 2020, o 16:28 Domyślam się, że trzeba zacząć od wyprowadzenia wzoru \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+...+aq^{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q} }\). Jak się go wyprowadza?
Wydaje mi się, że najprościej go udowodnić, patrząc na to, ile jest równy taki iloczyn:

\(\displaystyle{ (1+q+q^2+\ldots +q^{n-1})(1-q)}\).

Spróbuj sobie wymnożyć te dwa nawiasy (jeśli przeszkadzają Ci te kropki, to wstaw sobie np \(\displaystyle{ n=5}\) i zobacz, jak to działa i fajnie się prawie wszystkie skraca).
Tylko skąd się wziął nawias \(\displaystyle{ (1-q)}\)? Ok, to jest łatwe.
To będzie \(\displaystyle{ 1+q+q^{2}+...q^{n-1}-q-q^{2}-q^{3}-...-q^{n}=1-q^{n}}\). Tylko co to nam daje
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Tmkk »

Skoro

\(\displaystyle{ (1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1})(1-q) = 1-q^n}\),

to (zakładając, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\))

\(\displaystyle{ 1+q+q^2+ \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)

i mnożąc przez \(\displaystyle{ a_1}\) dostajesz wzór, o który pytałaś : ) Czy to jest jasne?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Niepokonana »

Aaaaa dobra. Czyli najpierw wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ a_{1}}\) potem mnożymy przez nawias, żeby się skróciło i potem dzielimy przez ten nawias. Tak, rozumiem i na sześciany się przestawia podobnie, co nie?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Tmkk »

Sześciany podobnie, po prostu zamiast \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ q}\), pojawią się \(\displaystyle{ a_1^3}\) oraz \(\displaystyle{ q^3}\) - ale to akurat dobrze widać, jak się po prostu podstawi.

Tak czy inaczej, jak widać z zadania, mamy do czynienia z nieskończonym ciągiem geometrycznym, a wzór, który dowiedliśmy, jest dla \(\displaystyle{ n}\) pierwszych - czyli skończenie wielu wyrazów. Potrzebujemy wzór na sumę wszystkich wyrazów w tym ciągu, czyli wzór na sumę szeregu geometrycznego.

Więc zanim przejdziemy do sześcianów, musimy się dowiedzieć, jak ze wzoru

\(\displaystyle{ 1+q+q^2 \ldots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}}\)

wynika wzór

\(\displaystyle{ 1+q+q^2 + \ldots = \frac{1}{1-q}}\)

i kiedy jest on w ogóle prawdziwy.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg geometryczny sześcianów

Post autor: Niepokonana »

Dzięki, ja już sobie poradzę. :)
ODPOWIEDZ