Iloczyn n początkowych wyrazów ciągu

[Jan Kraszewski]

Dobrze.

Teraz masz \(\displaystyle{ a= \green{c \frac{1-q^{n}}{1-q}}, b= \green{c \frac{1-q^{n}}{1-q}} \frac{1}{\blue{ c^{2}q^{n-1} }}, }\) a masz policzyć, ile będzie wynosić \(\displaystyle{ I=\left( \blue{ c^{2}q^{n-1} }\right)^\frac{n}{2} }\) (w zależności od \(\displaystyle{ a,b,n}\)).

Nie powinnaś mieć z tym problemu.

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ b=a \frac{1}{c^{2}q^{n-1}} }\)
czyli \(\displaystyle{ c^{2}q^{n-1}= \frac{a}{b} }\)
Czyli co? Teraz już tylko podnieść do potęgi? \(\displaystyle{ ( c^{2} q^{n-1})^{ \frac{n}{2} }= \left( \frac{a}{b}\right) ^{ \frac{n}{2}}}\)?
Nie rozumiem, czemu Latex strzelił focha.
Panie doktorze, a co tak właściwie zrobiliśmy w tym zadaniu? Nie do końca to rozumiem.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ b=a \frac{1}{c^{2}q^{n-1}} }\)
czyli \(\displaystyle{ c^{2}q^{n-1}= \frac{a}{b} }\)
Czyli co? Teraz już tylko podnieść do potęgi? \(\displaystyle{ ( c^{2} q^{n-1})^{ \frac{n}{2} }= \left( \frac{a}{b}\right) ^{ \frac{n}{2}}}\)?

No tak.

Nie rozumiem, czemu Latex strzelił focha.

Bo zapomniałaś jednej klamerki.

Panie doktorze, a co tak właściwie zrobiliśmy w tym zadaniu? Nie do końca to rozumiem.

I to jest bardzo ważne pytanie. Zastanów się, jak brzmiało polecenie i dlaczego to, co policzyliśmy, wypełniło polecenie dane w zadaniu (no i jak powinna wyglądać odpowiedź...). A potem napisz czy zrozumiałaś. Ale nie spiesz się.

JK

[JHN]

To od początku, powolutku: dla dobrze określonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (a_n)}\) mamy
\(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=a}\)
ponadto
\(\displaystyle{ b=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}=\\
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot q}+\frac{1}{a_1\cdot q^2}+\cdots+\frac{1}{a_1\cdot q^{n-1}}=\\
=\frac{1\cdot a_1\cdot q^{n-1}}{a_1\cdot a_1\cdot q^{n-1}}+\frac{1\cdot a_1\cdot q^{n-2}}{a_1\cdot q\cdot a_1\cdot q^{n-2}}+\frac{1\cdot a_1\cdot q^{n-3}}{a_1\cdot q^2\cdot a_1\cdot q^{n-3}}+\cdots+\frac{1\cdot a_1}{a_1\cdot q^{n-1}\cdot a_1}=\\
=\frac{a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1}{a_1^2\cdot q^{n-1}}=\frac{a}{a_1^2\cdot q^{n-1}}}\)
zatem
\(\displaystyle{ a_1^2\cdot q^{n-1}=\frac{a}{b}}\)
A mieliśmy policzyć
\(\displaystyle{ I=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots\cdot a_n=a_1\cdot (a_1\cdot q)\cdot (a_1\cdot q^2)\cdot \cdots\cdot (a_1\cdot q^{n-1})=a_1^n\cdot q^{1+2+\cdots +(n-1)}=\\
=a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}=\left(a_1^2\cdot q^{n-1}\right)^\frac{n}{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^\frac{n}{2}}\)

Pozdrawiam

[Niepokonana]

Mamy trzy dane - \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ n}\) i z nich mamy policzyć iloraz wyrazów ciągu geometrycznego, którego wzoru ogólnego nie znamy. No i nasze rozwiązanie jest dobre, bo tak jest napisane w odpowiedziach zawiera tylko te dane, które mamy podane i jest poprawne.
Tylko jak Pan doktor wpadł na to, że to trzeba tak przekształcić?

[Jan Kraszewski]

i z nich mamy policzyć iloraz wyrazów ciągu geometrycznego,

Iloczyn.

Tylko jak Pan doktor wpadł na to, że to trzeba tak przekształcić?

W tym nie ma żadnej magii. Patrzysz, co masz dane, patrzysz co masz policzyć i zaczynasz kombinować, jak na podstawie posiadanych danych otrzymać wynik. Do tego na poziomie szkolnym można dodać pozamatematyczne założenie, że zadanie jest "rozsądnie rozwiązywalne", czyli znalezienie drogi od danych do wyniku nie wymaga nie-wiadomo-jakich zdolności, tylko w miarę sprawnego posługiwania się podstawowymi narzędziami matematycznymi oraz czasami pewną pomysłowością i spostrzegawczością - co dla wielu uczniów i tak jest poza zasięgiem...

Jeżeli do tego nie będziesz traktowała nauki matematyki i rozwiązywania zadań mechanicznie, to po pewnym czasie masz szansę wyrobić sobie pewne odruchy oraz szersze spojrzenie. Tutaj - tak jak napisałem wcześniej - w danych mamy dwa równania, więc rozsądnie jest przypuścić, że trzeba będzie jakoś je połączyć ("wstawić jedno do drugiego" czy coś podobnego) i powinniśmy otrzymać coś, co powinno nam pozwolić wyliczyć ostateczny wynik. Oczywiście w ogólności nie zawsze musi być tak prosto, ale to jest naturalne "pierwsze podejście" do problemu, które jak widać zadziałało.

I pamiętaj o jeszcze jednym - nie licz na to, że będziesz patrzeć na zadanie i od razu zawsze będziesz wiedziała, co robić. Wtedy masz naturalny odruch: "nie wiem, co robić" i piszesz na forum "pomóżcie, nie wiem, co robić". Tymczasem zazwyczaj zawsze "coś" da się zrobić, trzeba tylko spróbować. Trzeba próbować kombinować samodzielnie.

JK

[Niepokonana]

Ja mylę te dwa słowa, bo nie rozumiem dlaczego iloraz to dzielenie, a iloczyn to mnożenie, a nie odwrotnie.

No właśnie dla mnie jest poza zasięgiem. Czyli po prostu trzeba to zauważyć?

[Jan Kraszewski]

No właśnie dla mnie jest poza zasięgiem. Czyli po prostu trzeba to zauważyć?

Ale to nie odbywa się tak, że "patrzę i widzę". Trzeba trochę popracować. Ty od razu napisałaś, że nie wiesz, co robić. A powinnaś najpierw zapisać, co masz dane, czyli zapisać czemu są równe \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) - to było tylko wykorzystanie wzorów związanych z ciągiem geometrycznym oraz pewna spostrzegawczość, że ciąg odwrotności też jest geometryczny (ale to trzeba było ten ciąg zapisać i pomyśleć, czy coś potrafisz o nim stwierdzić - skoro pojawił się w zadaniu, to pewnie coś da się stwierdzić, por. założenie o "rozsądnej rozwiązywalności") - potem zapisać, co masz policzyć, czyli iloczyn. To powinnaś umieć zrobić znając podstawowe pojęcia i wzory związane z ciągiem geometrycznym. I dopiero teraz zaczyna się próba zauważenia związków. Jak nic nie widać, to może trzeba próbować poprzekształcać te wzory... Rozwiązywanie zadań to trochę wyprawa w nieznane, trzeba wykazać się własną inicjatywą.

JK

[Niepokonana]

No dobrze, skoro Pan doktor tak mówi. Dziękuję za pomoc.

[a4karo]

Ja mylę te dwa słowa, bo nie rozumiem dlaczego iloraz to dzielenie, a iloczyn to mnożenie, a nie odwrotnie.

No właśnie dla mnie jest poza zasięgiem. Czyli po prostu trzeba to zauważyć?

A wiesz dlaczego prawa ręka jest prawa a lewa - lewa? Bo tak się ludzie umówili

[Niepokonana]

Ja mylę te dwa słowa, bo nie rozumiem dlaczego iloraz to dzielenie, a iloczyn to mnożenie, a nie odwrotnie.

No właśnie dla mnie jest poza zasięgiem. Czyli po prostu trzeba to zauważyć?

A wiesz dlaczego prawa ręka jest prawa a lewa - lewa? Bo tak się ludzie umówili

Naprawdę? Nie wiedziałam, zaskakujące. nie no żartuję
Ale iloraz czyli ile razy, a iloczyn czyli ile czynów. No przecież to powinno być odwrotnie.

[a4karo]

Ile razy mianownik mieści się w liczniku?

[Niepokonana]

Aaa to dlatego... A dlaczego iloczyn?

[a4karo]

Może ile czyni coś przez coś?

[Niepokonana]

A dobra, dziękuję, teraz to ma to sens.