Iloczyn n początkowych wyrazów ciągu

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o podpowiedź, jak się to robi. "Suma \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa \(\displaystyle{ a}\), a suma \(\displaystyle{ n}\) początkowych odwrotności tych wyrazów jest równa \(\displaystyle{ b}\). Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów tego ciągu."
Nie za bardzo wiem, jak się za to zabrać.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ n}\) poczatkowych wyrazów ciągu geometrycznego wygląda tak:

\(\displaystyle{ c, cq, cq^2,...,cq^{n-1}}\)

Ile wynosi ich suma? Ile wynosi suma ich odwrotności? W obu wypadkach masz sumę wyrazów ciągu geometrycznego (odwrotności też tworzą ciąg geometryczny). Ile wynosi ich iloczyn? Tu przyda się umiejętność działań na potęgach.

Po powyższym zapisaniu danych i szukanych (i przekształceniach) dostajesz tak naprawdę układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (bo \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są dane).

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ a=c +cq+cq^{2}+...cq^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ b=c^{-1}+(cq)^{-1}+c^{-1}q^{-2}+...+c^{-1}q^{1-n}}\)
A iloczyn n początkowych wyrazów ma wzór \(\displaystyle{ (c\cdot cq^{n-1})^{ \frac{n}{2} }}\)
Dobrze?

[Jan Kraszewski]

No OK, ale

\(\displaystyle{ a=c +cq+cq^{2}+...cq^{n-1}=?}\)
\(\displaystyle{ b=c^{-1}+(cq)^{-1}+c^{-1}q^{-2}+...+c^{-1}q^{1-n}=?}\)

Na to są wzory, których potrzebujesz.

A iloczyn n początkowych wyrazów ma wzór \(\displaystyle{ (c\cdot cq^{n-1})^{ \frac{n}{2} }}\)
Dobrze?

Dobrze, ale niepotrzebnie wyciągałaś tę potęgę przed nawias.

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ a= \frac{c(1-q^{n})}{1-q}}\)
a \(\displaystyle{ b}\) nie wiem. Zgaduję, że \(\displaystyle{ b= \frac{1-q}{c(1-q^{n})} }\)

[Jan Kraszewski]

a \(\displaystyle{ b}\) nie wiem. Zgaduję, że \(\displaystyle{ b= \frac{1-q}{c(1-q^{n})} }\)

Zgadywanie to nie jest dobra metoda rozwiązywania zadań. Jaki jest pierwszy wyraz tego ciągu? Jaki jest iloraz? Ustal to, wstaw do wzoru i sprawdź, czy wyjdzie to, co zgadłaś...

JK

[Niepokonana]

Chyba nie.
\(\displaystyle{ b= \frac{c^{-1}(1-q^{-n})}{1-q^{-1}} = \frac{1-g^{-n}}{c(1-q^{-1})} }\)

[Jan Kraszewski]

No właśnie.

Masz zatem \(\displaystyle{ a=c\cdot\frac{1-q^n}{1-q}, b=\frac{1}{c}\cdot\frac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}}}\), a masz wyznaczyć \(\displaystyle{ I=\left( c^2\cdot q^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}} }\) (tak jest jednak lepiej).

Wskazówka: przekształć drugą równość do postaci \(\displaystyle{ b=c\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\cdot\text{coś}}\), wykorzystaj pierwszą równość, a potem wylicz z tego, co otrzymałaś, ile wynosi \(\displaystyle{ c^2\cdot q^{n-1}}\).

JK

[Niepokonana]

Nie wiem, jak to przekształcić.

[Jan Kraszewski]

Nie wiem, jak to przekształcić.

E tam, spróbuj. Najpierw wyrażenia w liczniku i mianowniku tego dużego ułamka sprowadzasz każdy do jego wspólnego mianownika, a potem pozbywasz się ułamka piętrowego.

JK

[Niepokonana]

Panie doktorze, ale to jest bardzo trudne.
\(\displaystyle{ b=\frac{1}{c} \frac{ \frac{q^{n}-1}{q^{n}} }{ \frac{q-1}{q} }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{c} \frac{q^{n}-1}{q^{n}} \frac{q}{q-1} }\)
Na razie dobrze?

[Jan Kraszewski]

Nie przesadzaj, wcale nie jest trudne, bardzo dobrze Ci idzie. Takie przekształcenia wymagają uwagi, ale twierdzenie, że są trudne, to niepotrzebne "nakręcanie się".

Teraz uprość \(\displaystyle{ q}\) i pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ -1}\), żeby zbliżyć się do postaci, którą Ci napisałem. Pozostanie tylko modyfikacja, żeby mieć jedno \(\displaystyle{ c}\) w liczniku.

JK

[Niepokonana]

= \(\displaystyle{ \frac{1}{c} \frac{1-q^{n}}{q^{n-1}(1-q) } }\) Co dalej?

[Jan Kraszewski]

= \(\displaystyle{ \frac{1}{c} \frac{1-q^{n}}{q^{n-1}(1-q) } }\) Co dalej?

Dalej tak, jak Ci napisałem:

Wskazówka: przekształć drugą równość do postaci \(\displaystyle{ b=c\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\cdot\text{coś}}\),

Już jesteś bliska tej postaci. A potem to:

wykorzystaj pierwszą równość, a potem wylicz z tego, co otrzymałaś, ile wynosi \(\displaystyle{ c^2\cdot q^{n-1}}\).

JK

[Niepokonana]

To będzie...
\(\displaystyle{ = c \frac{1-q^{n}}{1-q} \frac{1}{c^{2}q^{n-1} } }\)
Dobrze? To znaczy, że mam zrobić układ równań?