Ciąg geometryczny

[Niepokonana]

Dzień dobry

Proszę o pomoc, ja nie rozumiem w ogóle, jak to się robi.
"Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\displaystyle{ 6}\), a stosunek sumy pięciu kolejnych wyrazów początkowych do sumy następnych pięciu wyrazów wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Oblicz szósty wyraz ciągu."
Jak się to robi? Próbowałam z tego stosunku wyliczyć \(\displaystyle{ q}\) poprzez \(\displaystyle{ \frac{S_{5}}{S_{10}-S_{5}}= \frac{3}{4}}\), ale mi nie wychodzi.

[AiDi]

Jak nie wychodzi to popełniasz jakiś błąd w trakcie, bo zaczynasz dobrze. Pokaż swoje obliczenia. Ja przed podstawianiem wzorów na \(\displaystyle{ S_n}\) przekształciłbym to do postaci \(\displaystyle{ 7S_5=3S_{10}}\). Potem z tego wyjdzie równanie kwadratowe w \(\displaystyle{ q^5}\).

[piasek101]

Jeśli \(\displaystyle{ S_5=x}\) to \(\displaystyle{ S_{10} - S_ { 5} =q^5\cdot x}\).([edit] Po poniższym dopisałem ,,-S_5", bo była pomyłka w oznaczeniu tej drugiej sumy.)

Zatem \(\displaystyle{ \frac{x}{q^5\cdot x}=0,75}\).

A szukane to przecież \(\displaystyle{ a_6=6q^5}\).

[a4karo]

Jeśli \(\displaystyle{ S_5=x}\) to \(\displaystyle{ S_{10}=q^5\cdot x}\).

To nie jest prawdą: jeżeli `q=1`, to `S_{10}\ne S_5`

[piasek101]

Tak -nie \(\displaystyle{ S_{10}}\) a \(\displaystyle{ S_{10}-S_5=q^5\cdot x}\).

Ale gdy \(\displaystyle{ q=1}\) to \(\displaystyle{ S_5=S_{10}-S_5}\).

Ps. Jak się pisze przy jedzeniu obiadu to tak wychodzi.

[Niepokonana]

Właśnie Panie Aidi tak to przekształciłam i też doszłam do jakiegoś równania kwadratowego.
\(\displaystyle{ 7 \frac{ a_{1}(1-q^{5}) }{ 1-q } = 3 \frac{ a_{1}(1-q^{10}) }{1-q} }\)

\(\displaystyle{ 7-7q^{5}=3-3q^{10}}\)
\(\displaystyle{ 0=-3q^{10}+7q^{5}-4}\). \(\displaystyle{ q \neq 1}\)
\(\displaystyle{ q^{5}=1}\) (sprzeczne) lub \(\displaystyle{ q^{5}= \frac{4}{3} }\), więc \(\displaystyle{ q^{5}= \frac{4}{3} }\)
No więc \(\displaystyle{ a_{6}=8}\)... O, teraz wyszło. A wcześniej mi nie wyszło, dziwne.
Czyli po prostu tak się to robi?
Mam jeszcze inne pytania, ale nie wiem, czy zrobić oddzielny wątek czy nie.

[a4karo]

lub \(\displaystyle{ q^{5}= \frac{4}{3} }\), więc \(\displaystyle{ q= \frac{4}{3} }\)

???

[Niepokonana]

Już poprawiłam.