Ciąg geometryczny trójwyrazowy

[Niepokonana]

Witam, proszę o podpowiedź, jak to dokończyć.
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny wynosi \(\displaystyle{ 15}\), a suma ich odwrotności \(\displaystyle{ \frac{3}{20}}\). Znajdź te liczby i określ monotoniczność ciągu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+a_{2}+a_{3}=15 \\ \frac{a_{2}\cdot a_{3} +a_{2}^{2}+a_{1}\cdot a_{2}}{a_{2}^{3}}= \frac{3}{20} \end{cases} }\)
Wyliczyłam, że \(\displaystyle{ a_{2}=10}\) lub \(\displaystyle{ a_{2}=-10}\)
Nie wiem, jak to dokończyć, bo jak robię równanie kwadratowe, to mi wychodzi parabola bez miejsc zerowych.

[Premislav]

Nie pokazałaś, jak to wyliczyłaś.
Ja bym to sprowadził do układu równań z pierwszym wyrazem i ilorazem, tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=15\\\frac{1}{a_{1}}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}\right)=\frac{3}{20} \end{cases}}\)
Z pierwszego równania podstawiamy do drugiego
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_{1}}=\frac{1+q+q^{2}}{15}}\)
i drugie równanie upraszcza się do:
\(\displaystyle{ \left(q^{2}+q+1\right)^{2}=\frac{9}{4}q^{2}\\\left(q^{2}-\frac{1}{2}q+1\right)\left(q^{2}+\frac{5}{2}q+1\right)=0}\)
Oczywiście pierwszy czynnik nie może być zerowy, bo
\(\displaystyle{ q^{2}-\frac{1}{2}q+1=\left(q-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}>0}\)
ale drugi już jak najbardziej.

[JHN]

\(\displaystyle{ 1^\circ\ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1q}+\frac{1}{a_1q^2}=\frac{a_1q^2}{a_1^2q^2}+\frac{a_1q}{a_1^2q^2}+\frac{a_1}{a_1^2q^2}=\frac{15}{a_1^2q^2} \Rightarrow a_1^2q^2=100}\)
czyli tak, jak u Ciebie
\(\displaystyle{ 2^\circ\ a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2) \Rightarrow a_1=\frac{15}{1+q+q^2}}\)
\(\displaystyle{ 3^\circ\ \left(\frac{15}{1+q+q^2}\right)^2\cdot q^2=100}\)
\(\displaystyle{ \frac{15q}{1+q+q^2}=10\vee\frac{15q}{1+q+q^2}=-10}\)
dla \(\displaystyle{ q\in\RR}\) pierwsze równanie jest sprzeczne, ale drugie ma dwa ładne rozwiązania...

Pozdrawiam

[Niepokonana]

Ja mam jeszcze jedno pytanie.
Co zrobić z takim układem równań?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+a_{2}+a_{3}=13 \\ a_{3}-a_{1}=a_{2}+5 \end{cases} }\)
Wyliczyłam sobie \(\displaystyle{ a_{3}}\), a jak wyliczyć a\(\displaystyle{ _{1}}\)? Proszę o podpowiedź.

[piasek101]

Też geometryczny ?

[edit] Podaj całą treść.
[edit1] Albo nie.
Jest geometryczny.
Masz więc \(\displaystyle{ a_1 q^2=9}\) oraz \(\displaystyle{ a_1+a_1 q=4}\)

[JHN]

Na ciągi geometryczne jest dobra sztuczka, niektórzy znowu się wzbudzą...
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+a_{2}+a_{3}=13 \\ a_{3}-a_{1}=a_{2}+5 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ : \underline{\begin{cases} a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^2=13 \\ a_{1}q^2-a_1q-a_{1}=5 \end{cases} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+q+q^2}{q^2-q-1}=\frac{13}{5}}\)
Tylko pamiętać trzeba o powrocie do \(\displaystyle{ a_1}\) z drugiego równania (z mianownika, coby było 5, a nie zero)

Pozdrawiam