Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Witam,
mam taki wzór na szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ G_{m-1} = c^{m-1} + c^{m-2}z + c^{m-3}z^2 + ... + cz^{m-2} + z^{m-1}}\)
wiem, że można uprościć ten szereg do postacji:
\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)
Niestety zupełnie nie mogę powyżej formy uzyskać, a próbuję poprzez:
\(\displaystyle{ zG_{m-1} = c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + c^{m-3}z^3 + ... + cz^{m-1} + z^{m}}\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1} = c^{m} + c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + ... + c^2z^{m-2} + cz^{m-1}}\)
\(\displaystyle{ G_{m-1}(z-c) = c^{m-3}z^3 + cz^{m-1} + z^m - (c^m + c^2z^{m-2}+z^{m-1})}\)
Jak można uprościć ten szereg?
mam taki wzór na szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ G_{m-1} = c^{m-1} + c^{m-2}z + c^{m-3}z^2 + ... + cz^{m-2} + z^{m-1}}\)
wiem, że można uprościć ten szereg do postacji:
\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)
Niestety zupełnie nie mogę powyżej formy uzyskać, a próbuję poprzez:
\(\displaystyle{ zG_{m-1} = c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + c^{m-3}z^3 + ... + cz^{m-1} + z^{m}}\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1} = c^{m} + c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + ... + c^2z^{m-2} + cz^{m-1}}\)
\(\displaystyle{ G_{m-1}(z-c) = c^{m-3}z^3 + cz^{m-1} + z^m - (c^m + c^2z^{m-2}+z^{m-1})}\)
Jak można uprościć ten szereg?
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Źle odejmujesz. Tak to się dzieje, jak używasz kropeczek.
Zapisz te sumy za pomocą \(\displaystyle{ \sum. }\)
JK
PS
No i to nie jest szereg.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Kurcze nie bardzo widzę ten błąd, proszę o jakieś naprowadzenieJan Kraszewski pisze: ↑29 mar 2020, o 17:06 Źle odejmujesz. Tak to się dzieje, jak używasz kropeczek.
Nie do końca rozumiem ale próbuję tak:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{m-1} G = z^i c^{m-i}}\)
i teraz podobnie jak poprzednio mnożąc odpowiednio przez \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ c}\) otrzymuję
\(\displaystyle{ z^{i}c^{m-i+1} = Gc}\)
\(\displaystyle{ z^{i+1}c^{m-i} = Gz}\)
\(\displaystyle{ G(z-c) = z^{i+1}c^{m-1} -z^i c^{m-i+1}}\)
ale to mnie nie jak nie przybliża do poprawnego wyniku
Dlaczego nie? Mamy tutaj sumę wyrazów ciagu geometrycznego.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Obawiam się, że nie umiesz używać sumy. Powinno być
\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i }\)
Przykro mi, ale sensu to nie ma.
Ale sumę skończoną. Sprawdź może definicję pojęcia szereg.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Racja, mój błąd. Tyle tylko, że w tej notacji dalej nie bardzo potrafię przekształcić to do formy:Jan Kraszewski pisze: ↑29 mar 2020, o 19:26 Obawiam się, że nie umiesz używać sumy. Powinno być
\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i }\)
\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)
Próbuję jak zwykle wymnożyć odpowiednio przez \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) ale nic to nie daje:
\(\displaystyle{ zG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} }\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i }\)
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} - c^{m-i}z^i = }\) co mogę tutaj zrobić? Cokolwiek nie wyciągnę przed nawias to i tak nie da ładnej formy
\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)
Zgadza się, jest to zwyczajna suma, w książce jest błąd bo opisuje ona to jako szereg geometryczny.Jan Kraszewski pisze: ↑29 mar 2020, o 19:26 Ale sumę skończoną. Sprawdź może definicję pojęcia szereg.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Wydaje mi się, że uprawiasz znaczkologię (no offence) być może nieświadomie. Twoje rozważania można bowiem wyrazić znacznie bardziej przystępnym językiem. Bo sprawa tego wzoru opiera się jedynie o wzór na różnice \(\displaystyle{ m}\) tych potęg. Wystarczy, że rozpiszesz \(\displaystyle{ z^m-c^m}\) (z wspomnianego wzoru) i dostaniesz równość. Jeśli jednak masz ją udowodnić to można to zrobić bezpośrednio z tego co napisał Jan Kraszewski
\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i= c^{m-1} \cdot \sum_{i=0}^{m-1}\left( \frac{z}{c} \right) ^i}\)
to daje się zsumować za pomocą wzoru na sumę ciągu geometrycznego kolejnych wyrazów. Wskazówka \(\displaystyle{ q=\frac{z}{c}}\).
\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i= c^{m-1} \cdot \sum_{i=0}^{m-1}\left( \frac{z}{c} \right) ^i}\)
to daje się zsumować za pomocą wzoru na sumę ciągu geometrycznego kolejnych wyrazów. Wskazówka \(\displaystyle{ q=\frac{z}{c}}\).
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
Ale możesz to zrobić też na swój sposób.
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1}-\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i=(\heartsuit)}\)
Teraz w pierwszej sumie zmieniamy indeksowanie: \(\displaystyle{ j:=i+1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ (\heartsuit)=\blue{\sum_{j=1}^{m}c^{m-j}z^{j}}-\red{\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i}=\blue{\sum_{j=1}^{m-1}c^{m-j}z^{j}+z^m}-\red{c^m+\sum_{i=1}^{m-1}c^{m-i}z^i}=z^m-c^m.}\)
Dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ z-c}\) i już.
JK
Początek jest dobry, ale końcówka jest inna:Mondo pisze: ↑29 mar 2020, o 23:07 \(\displaystyle{ zG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} }\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i }\)
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} - c^{m-i}z^i = }\) co mogę tutaj zrobić? Cokolwiek nie wyciągnę przed nawias to i tak nie da ładnej formy
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1}-\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i=(\heartsuit)}\)
Teraz w pierwszej sumie zmieniamy indeksowanie: \(\displaystyle{ j:=i+1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ (\heartsuit)=\blue{\sum_{j=1}^{m}c^{m-j}z^{j}}-\red{\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i}=\blue{\sum_{j=1}^{m-1}c^{m-j}z^{j}+z^m}-\red{c^m+\sum_{i=1}^{m-1}c^{m-i}z^i}=z^m-c^m.}\)
Dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ z-c}\) i już.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny
No tak, chyba bym nie wpadł na te zmiane indeksowania, ciekawy sposób. Bardzo dziękuję
Dodano po 1 minucie 2 sekundach:
Mam jeszcze takie pytanie, znalazłem twierdzenie (Descertes) które mówi, że jeśli
\(\displaystyle{ (z-c) G_{m-1} = z^m - c^m}\) (1)
wyrazimy za pomocą
\(\displaystyle{ P_n(z) = z^n + Az^{2-1} + ... + Dz + E}\) (2)
stąd (1) staje się
\(\displaystyle{ P_n(z) - P_n(c) = (z-c)[G_{n-1} + AG_{n-2} + ... + D]}\) (3)
Otrzymujemy tym samym teorię "faktoryzacji", połączoną z istnieniem pierwiastków którą można zapisać w takie sposób:
Dodano po 1 minucie 2 sekundach:
Mam jeszcze takie pytanie, znalazłem twierdzenie (Descertes) które mówi, że jeśli
\(\displaystyle{ (z-c) G_{m-1} = z^m - c^m}\) (1)
wyrazimy za pomocą
\(\displaystyle{ P_n(z) = z^n + Az^{2-1} + ... + Dz + E}\) (2)
stąd (1) staje się
\(\displaystyle{ P_n(z) - P_n(c) = (z-c)[G_{n-1} + AG_{n-2} + ... + D]}\) (3)
Otrzymujemy tym samym teorię "faktoryzacji", połączoną z istnieniem pierwiastków którą można zapisać w takie sposób:
I tutaj moje pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ P_n(z) = (z-c)P_{n-1}}\). To wynika pewnie z faktu, że \(\displaystyle{ P_n(z) = 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c}\) ale nie mogę jakoś tego wywnioskować z tych wzoru (3). Czy czegoś brakuje w tej zacytowanej przeze mnie teorii czy to ja czegoś nie dostrzegam?Jeśli \(\displaystyle{ c}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ P_n(z) = 0}\) to \(\displaystyle{ P_n(z) = (z-c)P_{n-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{n-1}}\)
jest stopnia \(\displaystyle{ n-1}\).