Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Mondo »

Witam,

mam taki wzór na szereg geometryczny:

\(\displaystyle{ G_{m-1} = c^{m-1} + c^{m-2}z + c^{m-3}z^2 + ... + cz^{m-2} + z^{m-1}}\)

wiem, że można uprościć ten szereg do postacji:

\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)

Niestety zupełnie nie mogę powyżej formy uzyskać, a próbuję poprzez:

\(\displaystyle{ zG_{m-1} = c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + c^{m-3}z^3 + ... + cz^{m-1} + z^{m}}\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1} = c^{m} + c^{m-1}z + c^{m-2}z^2 + ... + c^2z^{m-2} + cz^{m-1}}\)
\(\displaystyle{ G_{m-1}(z-c) = c^{m-3}z^3 + cz^{m-1} + z^m - (c^m + c^2z^{m-2}+z^{m-1})}\)

Jak można uprościć ten szereg?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 29 mar 2020, o 17:01\(\displaystyle{ G_{m-1}(z-c) = c^{m-3}z^3 + cz^{m-1} + z^m - (c^m + c^2z^{m-2}+z^{m-1})}\)
Źle odejmujesz. Tak to się dzieje, jak używasz kropeczek.

Zapisz te sumy za pomocą \(\displaystyle{ \sum. }\)

JK

PS
No i to nie jest szereg.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Mondo »

Jan Kraszewski pisze: 29 mar 2020, o 17:06 Źle odejmujesz. Tak to się dzieje, jak używasz kropeczek.
Kurcze nie bardzo widzę ten błąd, proszę o jakieś naprowadzenie :roll:
Jan Kraszewski pisze: 29 mar 2020, o 17:06 Zapisz te sumy za pomocą \(\displaystyle{ \sum. }\)
Nie do końca rozumiem ale próbuję tak:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{m-1} G = z^i c^{m-i}}\)
i teraz podobnie jak poprzednio mnożąc odpowiednio przez \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ c}\) otrzymuję

\(\displaystyle{ z^{i}c^{m-i+1} = Gc}\)
\(\displaystyle{ z^{i+1}c^{m-i} = Gz}\)
\(\displaystyle{ G(z-c) = z^{i+1}c^{m-1} -z^i c^{m-i+1}}\)

ale to mnie nie jak nie przybliża do poprawnego wyniku :(
Jan Kraszewski pisze: 29 mar 2020, o 17:06 PS
No i to nie jest szereg.
Dlaczego nie? Mamy tutaj sumę wyrazów ciagu geometrycznego.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 29 mar 2020, o 18:04Nie do końca rozumiem ale próbuję tak:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{m-1} G = z^i c^{m-i}}\)
Obawiam się, że nie umiesz używać sumy. Powinno być

\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i }\)
Mondo pisze: 29 mar 2020, o 18:04i teraz podobnie jak poprzednio mnożąc odpowiednio przez \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ c}\) otrzymuję

\(\displaystyle{ z^{i}c^{m-i+1} = Gc}\)
\(\displaystyle{ z^{i+1}c^{m-i} = Gz}\)
\(\displaystyle{ G(z-c) = z^{i+1}c^{m-1} -z^i c^{m-i+1}}\)
Przykro mi, ale sensu to nie ma.
Mondo pisze: 29 mar 2020, o 18:04Dlaczego nie? Mamy tutaj sumę wyrazów ciagu geometrycznego.
Ale sumę skończoną. Sprawdź może definicję pojęcia szereg.

JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Mondo »

Jan Kraszewski pisze: 29 mar 2020, o 19:26 Obawiam się, że nie umiesz używać sumy. Powinno być
\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i }\)
Racja, mój błąd. Tyle tylko, że w tej notacji dalej nie bardzo potrafię przekształcić to do formy:

\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)

Próbuję jak zwykle wymnożyć odpowiednio przez \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) ale nic to nie daje:

\(\displaystyle{ zG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} }\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i }\)
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} - c^{m-i}z^i = }\) co mogę tutaj zrobić? Cokolwiek nie wyciągnę przed nawias to i tak nie da ładnej formy

\(\displaystyle{ G_{m-1} = \frac{z^m - c^m}{z-c} }\)
Jan Kraszewski pisze: 29 mar 2020, o 19:26 Ale sumę skończoną. Sprawdź może definicję pojęcia szereg.
Zgadza się, jest to zwyczajna suma, w książce jest błąd bo opisuje ona to jako szereg geometryczny.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Janusz Tracz »

Wydaje mi się, że uprawiasz znaczkologię (no offence) być może nieświadomie. Twoje rozważania można bowiem wyrazić znacznie bardziej przystępnym językiem. Bo sprawa tego wzoru opiera się jedynie o wzór na różnice \(\displaystyle{ m}\) tych potęg. Wystarczy, że rozpiszesz \(\displaystyle{ z^m-c^m}\) (z wspomnianego wzoru) i dostaniesz równość. Jeśli jednak masz ją udowodnić to można to zrobić bezpośrednio z tego co napisał Jan Kraszewski

\(\displaystyle{ G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^i= c^{m-1} \cdot \sum_{i=0}^{m-1}\left( \frac{z}{c} \right) ^i}\)

to daje się zsumować za pomocą wzoru na sumę ciągu geometrycznego kolejnych wyrazów. Wskazówka \(\displaystyle{ q=\frac{z}{c}}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale możesz to zrobić też na swój sposób.
Mondo pisze: 29 mar 2020, o 23:07 \(\displaystyle{ zG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} }\)
\(\displaystyle{ cG_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i }\)
\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1} - c^{m-i}z^i = }\) co mogę tutaj zrobić? Cokolwiek nie wyciągnę przed nawias to i tak nie da ładnej formy
Początek jest dobry, ale końcówka jest inna:

\(\displaystyle{ (z-c)G_{m-1}= \sum_{i=0}^{m-1}c^{m-1-i}z^{i+1}-\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i=(\heartsuit)}\)

Teraz w pierwszej sumie zmieniamy indeksowanie: \(\displaystyle{ j:=i+1}\) i dostajemy

\(\displaystyle{ (\heartsuit)=\blue{\sum_{j=1}^{m}c^{m-j}z^{j}}-\red{\sum_{i=0}^{m-1}c^{m-i}z^i}=\blue{\sum_{j=1}^{m-1}c^{m-j}z^{j}+z^m}-\red{c^m+\sum_{i=1}^{m-1}c^{m-i}z^i}=z^m-c^m.}\)

Dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ z-c}\) i już.

JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Uproszczenie wzoru na szereg geometryczny

Post autor: Mondo »

No tak, chyba bym nie wpadł na te zmiane indeksowania, ciekawy sposób. Bardzo dziękuję :)

Dodano po 1 minucie 2 sekundach:

Mam jeszcze takie pytanie, znalazłem twierdzenie (Descertes) które mówi, że jeśli

\(\displaystyle{ (z-c) G_{m-1} = z^m - c^m}\) (1)

wyrazimy za pomocą

\(\displaystyle{ P_n(z) = z^n + Az^{2-1} + ... + Dz + E}\) (2)

stąd (1) staje się

\(\displaystyle{ P_n(z) - P_n(c) = (z-c)[G_{n-1} + AG_{n-2} + ... + D]}\) (3)

Otrzymujemy tym samym teorię "faktoryzacji", połączoną z istnieniem pierwiastków którą można zapisać w takie sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ c}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ P_n(z) = 0}\) to \(\displaystyle{ P_n(z) = (z-c)P_{n-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{n-1}}\)
jest stopnia \(\displaystyle{ n-1}\).
I tutaj moje pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ P_n(z) = (z-c)P_{n-1}}\). To wynika pewnie z faktu, że \(\displaystyle{ P_n(z) = 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c}\) ale nie mogę jakoś tego wywnioskować z tych wzoru (3). Czy czegoś brakuje w tej zacytowanej przeze mnie teorii czy to ja czegoś nie dostrzegam?
ODPOWIEDZ