Zbieżność ciągu geometrycznego

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: 41421356 »

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) ciąg

\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)

jest zbieżny?

Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: kmarciniak1 »

Ten szereg jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ -1<k^2-3k+1<1}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: Janusz Tracz »

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 09:23 Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) ciąg
\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)
jest zbieżny?
Widzimy, że jest to ciąg geometryczny \(\displaystyle{ \checkmark}\) więc liczymy jego \(\displaystyle{ q}\). Co sprowadza się na spojrzenie jaki jest drugi wyraz wszak pierwszym jest \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ q=k^2-3k+1}\). Aby ciąg był zbieżny musi spełniać pewien warunek
Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?
Nie taki. Nierówność \(\displaystyle{ -1<|q|}\) nic nie wnosi a \(\displaystyle{ |q|\leq 1}\) jest za gruba. Ciąg geometryczny jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\) czyli gdy \(\displaystyle{ |k^2-3k+1|<1}\) czyli gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} -1<k^2-3k+1\\ k^2-3k+1<1\end{cases} }\)

rozwiązujesz dwie nierówności kwadratowe bierzesz część wspólną rozwiązań i koniec.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: 41421356 »

Może najpierw zacznę od małego sprostowania. Chodziło mi oczywiście o warunek \(\displaystyle{ -1<q\leq1}\). Ponadto ja tutaj nigdzie nie mówię o szeregu, czyli ciągu sum, tylko o ciągu geometrycznym po prostu. Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: kmarciniak1 »

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 10:39 Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?
Oczywiście, że nie będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo suma nieskończenie wielu jedynek jest rozbieżna. Ja ogólnie celowo użyłem słowa szereg bo gdy mówimy o skończonym ciągu geometrycznym to nie ma mowy o żadnej zbieżności.
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 10:43 przez kmarciniak1, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: Janusz Tracz »

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 10:39 Ponadto ja tutaj nigdzie nie mówię o szeregu, czyli ciągu sum, tylko o ciągu geometrycznym po prostu. Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?
Tak, ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo wtedy będzie to ciąg jedynek. Myślałem, że chciałeś liczyć sumę szeregu na początku.

Dodano po 33 sekundach:
kmarciniak1 ale mówimy o ciągu
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: kmarciniak1 »

Janusz Tracz pisze: 24 mar 2020, o 10:44
Dodano po 33 sekundach:
kmarciniak1 ale mówimy o ciągu
A no właśnie teraz się skapnąłem. Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: Janusz Tracz »

Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: 41421356 »

Myślę, że jeśli zamiast tych przecinków w zadaniu byłyby plusy, to mówimy jasno o szeregu. W moim zadaniu były przecinki, czyli po prostu zostały wypisane początkowe wyrazy ciągu.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: kmarciniak1 »

Janusz Tracz pisze: 24 mar 2020, o 10:53
Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.
Szczerze mówiąc mógłbym kontynuować tę bezsensowną wymianę zdań ale chyba nie ma sensu. Dla mnie było niejednoznacznie i tyle.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbieżność ciągu geometrycznego

Post autor: Dasio11 »

kmarciniak1 pisze: 24 mar 2020, o 13:11Dla mnie było niejednoznacznie i tyle.
Dobrze że przeformułowałeś swoją tezę tak by było widać, gdzie leży problem, bo teza oryginalna:
kmarciniak1 pisze: 24 mar 2020, o 10:49Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
- nie miała zbyt wiele wspólnego z rzeczywistością.
ODPOWIEDZ