Zbieżność ciągu geometrycznego
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Zbieżność ciągu geometrycznego
Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) ciąg
\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)
jest zbieżny?
Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?
\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)
jest zbieżny?
Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?
- kmarciniak1
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 183 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Widzimy, że jest to ciąg geometryczny \(\displaystyle{ \checkmark}\) więc liczymy jego \(\displaystyle{ q}\). Co sprowadza się na spojrzenie jaki jest drugi wyraz wszak pierwszym jest \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ q=k^2-3k+1}\). Aby ciąg był zbieżny musi spełniać pewien warunek
Nie taki. Nierówność \(\displaystyle{ -1<|q|}\) nic nie wnosi a \(\displaystyle{ |q|\leq 1}\) jest za gruba. Ciąg geometryczny jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\) czyli gdy \(\displaystyle{ |k^2-3k+1|<1}\) czyli gdyCzy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1<k^2-3k+1\\ k^2-3k+1<1\end{cases} }\)
rozwiązujesz dwie nierówności kwadratowe bierzesz część wspólną rozwiązań i koniec.
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Może najpierw zacznę od małego sprostowania. Chodziło mi oczywiście o warunek \(\displaystyle{ -1<q\leq1}\). Ponadto ja tutaj nigdzie nie mówię o szeregu, czyli ciągu sum, tylko o ciągu geometrycznym po prostu. Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?
- kmarciniak1
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 183 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Oczywiście, że nie będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo suma nieskończenie wielu jedynek jest rozbieżna. Ja ogólnie celowo użyłem słowa szereg bo gdy mówimy o skończonym ciągu geometrycznym to nie ma mowy o żadnej zbieżności.
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 10:43 przez kmarciniak1, łącznie zmieniany 1 raz.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Tak, ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo wtedy będzie to ciąg jedynek. Myślałem, że chciałeś liczyć sumę szeregu na początku.
Dodano po 33 sekundach:
kmarciniak1 ale mówimy o ciągu
- kmarciniak1
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 183 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
A no właśnie teraz się skapnąłem. Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Myślę, że jeśli zamiast tych przecinków w zadaniu byłyby plusy, to mówimy jasno o szeregu. W moim zadaniu były przecinki, czyli po prostu zostały wypisane początkowe wyrazy ciągu.
- kmarciniak1
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 183 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Szczerze mówiąc mógłbym kontynuować tę bezsensowną wymianę zdań ale chyba nie ma sensu. Dla mnie było niejednoznacznie i tyle.Janusz Tracz pisze: ↑24 mar 2020, o 10:53Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Zbieżność ciągu geometrycznego
Dobrze że przeformułowałeś swoją tezę tak by było widać, gdzie leży problem, bo teza oryginalna:
- nie miała zbyt wiele wspólnego z rzeczywistością.kmarciniak1 pisze: ↑24 mar 2020, o 10:49Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie