ogólne wyrazy ciągu

[Zuziack06]

Czy gdzieś znajdę dowody na (na dole)ciągu arytmetycznego i cg. geometrycznego:
A)wyraz ogólny ciągu
B)wyraz ze średniej arytmetycznej dwóch skrajnych
C)suma wyrazów ciągu
Albo jeśli ktoś będzie tak miły i mi to udowodni, bo ja niestety jestem za ciemna na to jednak

[JHN]

A) i C) - indukcyjnie - nie podejmuję się - albo intuicyjnie, czyli szkolnie
B)
dla ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n=a_{n-1}+r\\ a_n=a_{n+1}-r\end{cases} \ \ \ \text{dla}\ n\in\NN\wedge n\ge 2}\)
po dodaniu stronami - teza

dla geometrycznego - analogicznie, tylko trzeba stronami pomnożyć

Pozdrawiam

[edited] uzupełnienie

[Zuziack06]

źle zadałam pytani w takim bądź razie, bo intuicyjnie wiem, same wzory mam, na sumę rozbitą nawet tylko dla wyrazu pierwszego. Chodzi mi o dowód bardziej dogłębny, skąd się wzięło nie intuicyjny, szkolny

[JHN]

A) i C) - indukcyjnie - nie podejmuję się

Indukcja matematyczna zupełna wykracza poza kanon rozkładu nauczania matematyki w szkole ponadgimnazjalnej...

Anegdota: Nauczyciel matematyki zlecił uczniom klasy, w której uczył się Gauss, dodanie do siebie \(\displaystyle{ 1+2+3+\cdots +100}\). Uczniowie pilnie zaczęli dodawać do siebie kolejne składniki, a młody Karl krzyknął \(\displaystyle{ 5050}\)! Na pytanie nauczyciela jak to policzył w takim tempie - odpowiedział: Skoro mam patyczki podanej długości, to zacząłem je sklejać: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, itd - uzyskałem pięćdziesiąt patyczków, każdy długości \(\displaystyle{ 101}\). wystarczyło pomnożyć: "(pierwszy dodać ostatni) razy połowa liczby wszystkich".
I tak można postąpić w przypadku każdego ciągu arytmetycznego...

Ponieważ wszyscy jesteśmy nauczycielami języka polskiego, nie tylko w czasie zarazy

...w takim bądź razie, ...

nie jest po polsku! Wystarczy "w takim razie"

Pozdrawiam

[Zuziack06]

Niestety nigdzie nie napisałam że to ma być poziom ponadgimnazjalny czy już raczej ponadpodstawowy, chodzi mi o dowód matematyczny na poziomie studiów

[Jan Kraszewski]

Udowodnić indukcyjnie wzory

Polecam wyszukiwarkę forum...

JK

[a4karo]

A czemu sądzisz, że na studiach robi się to jakoś inaczej?
Na studiach się zakłada, że takie rzeczy student wie.