Stosunek wyrazów sumy ciągu

[41421356]

Wykaż, że w dowolnym ciągu geometrycznym zbieżnym o ilorazie \(\displaystyle{ q}\) stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).

[Premislav]

Wyrażenie „stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum" urąga regułom składni języka polskiego. Pozdro, z fartem.

Dodano po 5 minutach 53 sekundach:
Czy chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu?

[41421356]

Wydaje mi się, że chodzi właśnie o ten iloraz.

[Premislav]

Tylko wtedy to przeważnie nie jest prawda, ponieważ jeśli oznaczymy iloraz przez \(\displaystyle{ q}\), przy czym z treści zadania \(\displaystyle{ |q|<1}\) (dla ciągu stałego od razu widać, że nie działa), to mamy
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n}}}\), a to dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a gdy \(\displaystyle{ q\neq \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}\neq 1}\). Mamy wszak
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{0}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\) lub przy numeracji od \(\displaystyle{ 1, \ S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\).

Prawdopodobnie chodziło o coś innego, ale niepoprawne językowo sformułowanie uniemożliwiło mi zrozumienie treści.

[41421356]

Już rozwiązałem poprawnie sformułowane zadanie. Chodziło o stosunek wyrazu ciągu do sumy kolejnych wyrazów tego ciągu, tj

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{S-S_n}}\)

Dziękuję bardzo za pomoc i przepraszam za zamieszanie.

[Gosda]

To nie jest "stosunek (...) do sumy kolejnych wyrazów ciągu". Prędzej stosunek wyrazów ciągu do sumy ogonów (tak się chyba mówi?) ciągu zaczynających się za tym wyrazem. Tak czy siak lepiej nie kombinować i po prostu symbolami zapisać, o co nam chodzi.

[41421356]

Problem w tym, że w oryginale zadanie było napisane słownie w języku angielskim.

[Jan Kraszewski]

Możemy zrobić wyjątek i pozwolić Ci zacytować je w oryginale...

JK

[41421356]

Prove that if \(\displaystyle{ a_n \ \ , n\in\mathbb{N}_+}\) is a converging geometric sequence, then the ratio of every term to the sum of all the consequtive terms is \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).

[Premislav]

No to chodzi tutaj o \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{\sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}}=\frac{1-q}{q}}\), tak jak pisał Gosda. I o ile zna się wzór na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, to zadanie jest nawet poniżej poziomu matury. Sformułowanie z ogonem (częste w akademickim RP) ładne, daję papieską okejkę.