Przekształcenie szeregu geometrycznego - gdzie błąd?

[adept2020]

Witajcie,

próbowałem najpierw wyszukać post o podobnym temacie, niestety bezskutecznie.
Proszę o pomoc w identyfikacji błędu metodycznego poniższego przekształcenia.

\(\displaystyle{ S(x) = 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5...}\)

\(\displaystyle{ S(x) = 1+x\cdot (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5...)}\)

\(\displaystyle{ S(x) = 1+x\cdot S(x) \Rightarrow S(x)=\frac{1}{1-x}}\)

Wiem, że wynik nie jest poprawny to niestety nie potrafię wskazać i wytłumaczyć na czym polega błąd.

Dziękuję,

[a4karo]

Ten wynik jest poprawny, o ile wyrażenie po prawej stronie równania ma sens. A tak jest jeżeli \(-1<x<1\)

[adept2020]

Dziękuję za szybką odpowiedź, ale ... no właśnie - nie było zbyt precyzyjnie.
Można przyjąć, że pierwszy wiersz nie nakłada warunku |x|<1.
Dlatego - kiedy takie założenie musi zostać dokonane? W którym momencie zawęża się dziedzina?
Przy dzieleniu przez 1-x musimy wykluczyć 1, ale gdzie tracimy resztę?

[Janusz Tracz]

Można przyjąć, że pierwszy wiersz nie nakłada warunku \(\displaystyle{ |x|<1}\).

Dlaczego można tak zrobić? A może nie można? Wyrażania po obu stronach równości muszą mieć sens. Gdy \(\displaystyle{ |x| \ge 1}\) to prawa strona sensu nie ma. Stąd zawężenie dziedziny.

[a4karo]

Policz czemu jest równa prawa strona gdy \(x=2\)

[adept2020]

Rozumiem jak to się zachowuje dla różnych argumentów. Mój kłopot to zrozumienie potrzeby i stosowania właściwego momentu aplikacji ograniczeń na dziedzinie. Potrafię zaakceptować wyjaśnienie "bo inaczej nie ma sensu", jednak nie czuję tego za dobrze, a przecież jeżeli byśmy zapisali sumę szeregu w ten sposób:
\(\displaystyle{ S(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n-1}}\)

z którego po przekształceniach otrzymalibyśmy:
\(\displaystyle{ S(x) = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}}\)

to przecież nie musielibyśmy na starcie zakładać |x|<1.

Czy może jest tak, że wpływ na całość ma kwestia podejścia do końcowych wyrazów/nieskończoności?
A może dla bezpieczeństwa lepiej stosować drugą metodę? Myślę ogólnie, na przyszłość

[Janusz Tracz]

a przecież jeżeli byśmy zapisali sumę szeregu w ten sposób: \(\displaystyle{ S(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n-1}}\)

Nie możesz zapisać sumy szeregu który z definicji jest nieskończony w skończony sposób zależny od \(\displaystyle{ n}\). Ten argument jest mocno chybiony i zrozumienie dlaczego też jest istotne do poukładania sobie co się dzieje.

\(\displaystyle{ S(x) = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}}\)
to przecież nie musielibyśmy na starcie zakładać \(\displaystyle{ |x|<1}\).

Gubisz istotne szczegóły \(\displaystyle{ S_{\color{red}{n}}(x) = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}}\). Poza tym wyrażanie ma sens na całym \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 1\right\} }\) dlatego nie trzeba zakładać \(\displaystyle{ |x|<1}\). Czego powiedzieć nie można o nieskończonej sumie. Swoją drogą niedogodność z \(\displaystyle{ x=1}\) łatwo naprawić i podać przepis na \(\displaystyle{ S_n(x)}\) dobrze określony na całym \(\displaystyle{ \RR}\).

Czy może jest tak, że wpływ na całość ma kwestia podejścia do końcowych wyrazów/nieskończoności?

Nie do końca wiem co chcesz powiedzieć ale bycie podejrzliwym w stosunku do \(\displaystyle{ \infty }\) (co właśnie uczyniłeś) jest w tym momencie bardzo wskazane. To dobry trop.

Aby zrozumieć formalnie dlaczego ograniczamy się do \(\displaystyle{ |x|<1}\) warto sięgnąć do definicji znaczków które piszemy od samego początku. Więc, ten nieformalny zapis \(\displaystyle{ S(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5...}\) sformalizujemy poprzez pojęcie granicy sumy częściowej. Niech \(\displaystyle{ S_n(x)= \sum_{k=1}^{n}x^k }\) wtedy z definicji:

\(\displaystyle{ S(x):= \lim_{n \to \infty } S_n(x)}\)

Teraz możemy korzystać z teorii granic. Odwołując się do definicji granicy można rozstrzygnąć dla jakich \(\displaystyle{ x}\) wyrażanie \(\displaystyle{ S(x)}\) ma sens. Ma go wtedy gdy istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S_n(x)}\) a granica to istnieje gdy \(\displaystyle{ |x|<1}\). Oczywiście w tych rozważaniach przydaje się wcześniej wspomniana wiedza o jawnej postaci \(\displaystyle{ S_n(x)}\)

\(\displaystyle{ S(x):= \lim_{n \to \infty } S_n(x)= \lim_{n \to \infty }\frac{1 - x^{n}}{1 - x}}\)

skończona granica ta istnieje tylko dla \(\displaystyle{ |x|<1}\). Dlatego przypisywanie liczby do \(\displaystyle{ S(x)}\) jest możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ |x|<1}\). Stąd bierze się ograniczenie.

[adept2020]

Dziękuję,

wychodzi na to, że błąd (i zarazem przyczyna tego postu) polegał na porównaniu do siebie wzorów dla dwóch różnych sum - skończonej i nieskończonej.

Podsumowując - taki zapis jest niepoprawny ze względu na wskazanie ostatniego wyrazu i zawsze powinien się skończyć na '...', nawet jak w sumie wskażemy \(\displaystyle{ n\to \infty }\)?

\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... }\)\(\displaystyle{ + x^{n}}\)
(tu zmieniłem ostatni indeks z \(\displaystyle{ n-1}\) na \(\displaystyle{ n}\))

Jeszcze raz dzięki za cierpliwość.

[a4karo]

Obawiam się, że nie rozumiesz.
Wyrażenie `\sum_{n=1}^\infty a_n` oznacza szereg liczbowy i jest tylko zapis formalny. Na ogół nie reprezentuje on żadnej liczby i nie dotyczą go prawidła arytmetyki sum skończonych.

W pewnych przypadkach (a mianowicie wtedy gdy istnieje granica ciągu sum częściowych `\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n=\lim_{N\to\infty} a_1+ ... +a_N` to mówimy, że sumą tego szeregu jest ta właśnie granica.

W Twoim przypadku masz szereg zwany szeregiem geometrycznym dany wzorem `\sum_{n=0}^\infty x^n`, którego sumami częściowymi są `S_N(x)=\sum_{n=0}^N x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}`.
Granica `\lim_{N\to\infty} S_N(x)` istnieje tylko wtedy gdy `|x|<1`. Wyrażenie `S(x)` ma zatem sens liczbowy tylko wtedy gdy `|x|<1`. W takim przypadku szereg ten jest bezwzględnie zbieżny i teoria szeregów mówi, że w takim przypadku można z jego wyrazami wykonywać to, do czego przywykliśmy przy sumach skończonych.

Natomiast to, co napisałeś w ostatnim wzorze
$$ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... +x^n$$
nie jest prawdą. Prawa strona tego wyrażenia jest równa `\sum_{i=0}^n x^i`