Dowód wzoru na sumę ciągu

[41421356]

Wykazać, że dla ciągu:

\(\displaystyle{ 7,-10,13,-16,19,...}\)

wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\)-początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ S_n=\frac{11}{4}\left[1+\left(-1\right)^{n+1}+\frac{6n}{11}\left(-1\right)^{n+1}\right]}\)

[Jan Kraszewski]

To jest suma dwóch ciągów arytmetycznych: \(a_n=7+6n\) i \(b_n=-10-6n\). Rozważ dwa przypadki: dla \(n=2k\) i dla \(n=2k+1\).

JK

[41421356]

Uzyskam wtedy dwa alternatywne wzory:

\(\displaystyle{ S_{2k}=-3k \ \ , \ \ S_{2k-1}=3k+4 \ \ , k=1,2,3,...}\)

Pytanie brzmi jak uzyskać jeden uniwersalny wzór z treści zadania, który wyznacza tą sumę niezależnie od tego czy sumujemy parzystą ilość wyrazów czy nie. Trochę mi ten wzór rekurencją zjeżdża mówiąc szczerze...

[Premislav]

Oczywiście przyjmujemy, że te wyrazy ciągu opisuje jakaś widoczna relacja (najprostsza, jaką możemy tu zauważyć), a nie np. następny to numer tramwaju, którym jechałem w stronę Sępolna. Proste, podstaw do wzoru, który miałeś w zadaniu kolejno
\(\displaystyle{ n:=2k, \ n:=2k-1}\) i sprawdź, że to się zgadza z Twoimi wzorami na \(\displaystyle{ S_{2k}, \ S_{2k-1}}\).

Można też bardziej na siłkę:
oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) n-ty wyraz ciągu z zadania, \(\displaystyle{ n=0,1,2\ldots}\) (jak numerujesz od jedynki, to tylko się przesunie); nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+1}(6n+17)}\), stąd
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})=7+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}(6k+17)\\=7+6\sum_{k=0}^{n-1}k(-1)^{k+1}+17\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}}\)
no i teraz powstaje kwestia zwinięcia dwóch sum:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}q^{k}, \ \sum_{k=0}^{n-1}k \ q^{k}, \ q\neq 1}\)
Jeżeli oznaczymy
\(\displaystyle{ X_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}q^{k}}\), to \(\displaystyle{ qX_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}q^{k+1}=\sum_{k=1}^{n}q^{k}=-1+q^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}q^{n}\\=-1+q^{n}+X_{n}}\)
a więc
\(\displaystyle{ X_{n}(1-q)=1-q^{n}, \ X_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}}\).

Podobna sztuczka zadziała też i w drugim przypadku: jeśli
\(\displaystyle{ Y_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}k\ q^{k}}\), to
\(\displaystyle{ qY_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}kq^{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1}q^{k+1}\\=\sum_{k=1}^{n}k \ q^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}q^{k+1}=nq^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}k\ q^{k}-q\sum_{k=0}^{n-1}q^{k}\\=nq^{n}+Y_{n}-q \ X_{n}}\)
a stąd
\(\displaystyle{ Y_{n}(1-q)=q \ X_{n}-nq^{n}\\Y_{n}=\frac{q\left(1-q^{n}\right)-(1-q)nq^{n}}{(1-q)^{2}}=\frac{q-nq^{n}+(n-1)q^{n+1}}{(1-q)^{2}}}\)

Otrzymujemy więc
\(\displaystyle{ a_{n}=7-6\sum_{k=0}^{n-1}k(-1)^{k}-17\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\\=7-\frac{3}{2}\left(-1-n(-1)^{n}+(n-1)(-1)^{n+1}\right)-\frac{17}{2}\left(1-(-1)^{n}\right)\\=7+\frac{3}{2}\left(1+(-1)^{n}(2n-1)\right)-\frac{17}{2}\left(1-(-1)^{n}\right)\\=(-1)^{n}\cdot (3n+7)}\)
i wobec tego
\(\displaystyle{ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}(3k+7)=3\sum_{k=0}^{n}k(-1)^{k}+7\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\\=\frac{3}{4}\left(-1-(n+1)(-1)^{n+1}+n(-1)^{n+2} \right)+\frac{7}{2}\cdot \left(1-(-1)^{n+1}\right)\\=\frac{11}{4}-\frac{6n+17}{4}(-1)^{n+1}}\)
Jak się nie zgadza wzor, to dlatego że autorzy numerowali w zadaniu wyrazy ciągu od jedynki, a nie od zera. Powinni to w zasadzie napisać…

[Jan Kraszewski]

Uzyskam wtedy dwa alternatywne wzory:

\(\displaystyle{ S_{2k}=-3k \ \ , \ \ S_{2k-1}=3k+4 \ \ , k=1,2,3,...}\)

OK.

Pytanie brzmi jak uzyskać jeden uniwersalny wzór z treści zadania, który wyznacza tą sumę niezależnie od tego czy sumujemy parzystą ilość wyrazów czy nie.

Ale po co? To typowa kwestia zmiany kierunku myślenia - zamiast z Twoich wzorów robić jeden zamień wzór z tezy na \(\displaystyle{ S_n}\) równoważnie na dwa wzory na \(\displaystyle{ S_{2k}}\) i \(\displaystyle{ S_{2k-1}}\).

JK

[41421356]

Panowie, jestem bardziej niż ukontentowany odpowiedziami w tym wątku. Dziękuję bardzo za pomoc.