ciąg geometryczny szczególny przypadek

[Dreamer357]

Czy ktoś mógłby wyprowadzić wzór na sumę ciągu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a _{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) są takie same.
Wyszedł mi taki ciąg w moich obliczeniach. I mam przeczucie, że to powinno łatwiej się liczyć, niż klasyczna wersja sumy ciągu geometrycznego.

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ a_1=q}\). Oznaczmy sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów takiego ciągu przez:

\(\displaystyle{ S_n=q+q^2+q^3+...+q^n}\)

\(\displaystyle{ S_n=q\left( 1+q+q^2+...+q^{n-1}\right)}\)

\(\displaystyle{ S_n=q\left( 1+\underbrace{q+q^2+...+q^{n-1}+{\blue{q^n}}}_{S_n}-{\blue{q^n}}\right)}\)

\(\displaystyle{ S_n=q\left( 1+S_n-q^n\right)}\)

\(\displaystyle{ S_n=q+qS_n-q^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ S_n-qS_n=q-q^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ S_n= \frac{q-q^{n+1}}{1-q}}\)

Pod warunkiem, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\). Ale gdy \(\displaystyle{ q=1}\) to mamy jeszcze łatwiejszy przypadek \(\displaystyle{ S_n=n}\)

[Zahion]

Można też stronami przez \(\displaystyle{ 1 - q}\) pomnożyć.

[Dreamer357]

Piękne dzięki

[a4karo]

A nie prościej w wzorze na sumę zamiast \(\displaystyle{ a_1}\) napisać \(\displaystyle{ q}\)?

[Dreamer357]

Tak jest idealnie, bo można sumować dzielną, gdy elementów jest dużo. Jak podstawisz \(\displaystyle{ a_{1}}\) jak w klasycznym wzorze, się nie da, bo dzielnik jest różny.

[a4karo]

Tak jest idealnie, bo można sumować dzielną, gdy elementów jest dużo. Jak podstawisz \(\displaystyle{ a_{1}}\) jak w klasycznym wzorze, się nie da, bo dzielnik jest różny.

Możesz objaśnić co przez to rozumiesz? Sumowanie dzielnej? Dzielnik jest różny?

[Dreamer357]

Gdy mamy przykładowo trzy takie same ciągi do różnych potęg:

\(\displaystyle{ \frac{q-q^{2}}{1-q}+\frac{q-q^{5}}{1-q}+\frac{q-q^{13}}{1-q}+}\)

[a4karo]

A gdzie tu widzisz ciagi geometryczne?

[Dreamer357]

\(\displaystyle{ (a+b)(a+b)(a+b)+\\
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)+\\
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)-(a+b)^{4}}{1-(a+b)}+\frac{(a+b)-(a+b)^{7}}{1-(a+b)}+\frac{(a+b)-(a+b)^{13}}{1-(a+b)}}\)

-- 30 lip 2019, o 16:02 --

Powiesz czemu nie użyję potęgi, ale chodzi o ciąg taki, że
\(\displaystyle{ (a+b)(a+b) ^{2}(a+b) ^{3}...}\)

-- 30 lip 2019, o 16:03 --

Tak widać?

-- 30 lip 2019, o 16:06 --

Nie widać, powiesz że sumujemy potęgi:

Powiesz czemu nie użyję potęgi, ale chodzi o ciąg taki, że i jest wielokrotnie złożony:
\(\displaystyle{ (a+b) ^{2} ((a+b) ^{2}) ^{2} ((a+b) ^{3}) ^{2} ...}\)

[a4karo]

Sorry, ja odpadam

[Dreamer357]

W tej chwili, nie jestem w stanie. Później rozpiszę to na przykładzie. Ważne, że działa i wychodzi w permutacji.

Ukryta treść:    

-- 30 lip 2019, o 18:42 --

\(\displaystyle{ (ab+ac+cb) ^{1} +\\
(ab+ac+cb) ^{2} +\\
(ab+ac+cb) ^{3} +\\
(ab+ac+cb) ^{4} +\\
(ab+ac+cb) ^{5} +\\
(ab+ac+cb) ^{6}+\\}\)

\(\displaystyle{ \frac{(ab+ac+cb)-(ab+ac+cb)^{7}}{1-(ab+ac+cb)}}\)

To taki najprostszy przykład. Ale wychodzą mi bardziej złożone.

-- 30 lip 2019, o 18:44 --

Przykładowo:
\(\displaystyle{ (ab+ac+cb) ^{3} +\\
(ab+ac+cb) ^{4} +\\
(ab+ac+cb) ^{5} +\\
(ab+ac+cb) ^{6}+\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{(ab+ac+cb)-(ab+ac+cb)^{7}}{1-(ab+ac+cb)}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{(ab+ac+cb)-(ab+ac+cb)^{3}}{1-(ab+ac+cb)}}\)

[AiDi]

Myślę, że wszyscy już widzą co trzeba i w tym temacie nie ma potrzeby pokazywać więcej, dlatego też zamykam...