Sumy w ciągach

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że w dowolnym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych istnieją dwa różne wyrazy o równej sumie cyfr.

[szw1710]

Zapomniałeś dodać nieskończonym, bo w skończonych ciągach arytmetycznych to ewidentna nieprawda.

[Premislav]

Dobra, ustalmy dowolny nieskończony ciąg arytmetyczny liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ \left( a_n\right)_{n=1}^{\infty}}\) (gdyby na początku było zero, to możemy je wywalić, traktując \(\displaystyle{ a_2}\) jako pierwszy wyraz, a jak są same zera, to w szczególności są na dwóch pierwszych miejscach).
Niech \(\displaystyle{ 10^k\le a_1<10^{k+1}}\) i \(\displaystyle{ 10^m\le r<10^{m+1}}\) (oczywiście \(\displaystyle{ r=a_n-a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,\ldots}\)). Naturalnie liczby \(\displaystyle{ k,m\in \NN}\) są ustalone.
Oznaczmy \(\displaystyle{ S}\) – suma cyfr liczby.
Niech \(\displaystyle{ 10^{l(n)}\le n-1<10^{l(n)+1}\). Mamy
\(\displaystyle{ S(a_n)=S(a_1+(n-1)r)}\)
i gdy \(\displaystyle{ 10^{l}\le n-1<10^{l+1}}\), to
\(\displaystyle{ a_1+(n-1)r<10^{k+1}+10^{m+l+2}}\)
Dobierzmy \(\displaystyle{ l(n)}\) (co za tym idzie \(\displaystyle{ n}\)) na tyle duże, aby \(\displaystyle{ m+l+2\ge k+1}\) (kluczowa obserwacja: jeśli jakieś \(\displaystyle{ l}\) działa, to każde większe tym bardziej!), wówczas z powyższego mamy
\(\displaystyle{ a_n<2\cdot 10^{m+l+2}}\)
Zatem liczba \(\displaystyle{ a_n}\) (jak też wszystkie \(\displaystyle{ a_i}\) dla \(\displaystyle{ i<n}\)) ma nie więcej niż
\(\displaystyle{ m+l+3}\) cyfry, stąd
\(\displaystyle{ S(a_n)\le 9(m+l+3)}\) (największą sumę cyfr uzyskamy, wstawiając same dziewiątki) i z analogicznego argumentu \(\displaystyle{ S(a_i)\le 9(m+l+3)}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\in\left\{ 1,2\ldots n\right\}}\). Więc \(\displaystyle{ a_i}\) dla \(\displaystyle{ i\le n}\) mają nie więcej niż \(\displaystyle{ 9(m+l+3)}\) różnych mozliwych sum cyfr. Jeżeli tylko
\(\displaystyle{ n>9(m+l+3)}\), to z zasady szufladkowej Dirichleta pewne dwie spośród liczb
\(\displaystyle{ a_1, a_2 \ldots a_n}\) będą miały tę samą sumę cyfr.
Ale skoro \(\displaystyle{ n-1\ge 10^l}\), to \(\displaystyle{ \log_{10}(n-1)\ge l}\), zatem
\(\displaystyle{ 9(m+l+3)\le 9(m+\log_{10}(n-1)+3)}\), zaś \(\displaystyle{ m}\) jest ustalone. Wystarczy więc dobrać \(\displaystyle{ n}\) tak duże, aby
jednocześnie zachodziło \(\displaystyle{ n> 9(m+\log_{10}(n-1)+3)}\) oraz
\(\displaystyle{ m+l(n)+2\ge k+1}\). Ponieważ zaś \(\displaystyle{ m, k}\) są ustalone oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( n-9\log_{10}(n-1)\right)=+\infty}\)
i \(\displaystyle{ 10^{l(n)+1}>n}\), tj. \(\displaystyle{ l(n)>\log_{10}n-1}\), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \log_{10}n-1\right) =+\infty}\),
zatem możemy dobrać \(\displaystyle{ n}\) spełniające taki układ warunków (korzystając z zasady minimum, możemy wziąć minimalne takie \(\displaystyle{ n}\)). Bierzemy takie \(\displaystyle{ n}\) i z Dirichleta mamy tezę.


BTW Czy istnieje rozwiązanie konstruktywne? Uważam, że byłoby tutaj znacznie ciekawsze, ale nie byłbym w stanie go wymyślić.-- 12 lip 2019, o 13:01 --Dla formalności można jeszcze udowodnić, że te granice rzeczywiście wynoszą \(\displaystyle{ +\infty}\), ale przyznacie, że to dość oczywiste…