Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: 41421356 »

W pewnym niezerowym ciągu arytmetyczny suma \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów jest równa sumie \(\displaystyle{ 3n}\) kolejnych wyrazów. Wiedząc, że \(\displaystyle{ a_1 a_{17}=0}\) wyznacz \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: Premislav »

Skorzystaj z takiego wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (numerowanego od jedynki):
\(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}\). Za pomocą tego wzoru zapisz sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów, sumę dalszych \(\displaystyle{ 3n}\) wyrazów, a potem przejdź na zapis \(\displaystyle{ a_k=a_1+(k-1)r}\) (\(\displaystyle{ r}\) to różnica kolejnych wyrazów w ciągu arytmetycznym).
Dalej wykorzystaj ten warunek \(\displaystyle{ a_1 a_{17}=0}\), oznacza on, że jeden z czynników jest równy zero.
Może da się ładniej, ale tak powinno wyjść.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: 41421356 »

Nie bardzo rozumiem jak zapisać sumę kolejnych \(\displaystyle{ 3n}\) wyrazów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: Premislav »

To będzie \(\displaystyle{ S_{4n}-S_n}\), ponieważ jeśli pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów
to \(\displaystyle{ a_1, a_2\ldots a_n}\), to \(\displaystyle{ 3n}\) następnych: \(\displaystyle{ a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots a_{4n}}\)
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: 41421356 »

Coś chyba jest nie tak z tym zadaniem, rozwiązuje oba przypadki i w żadnym n nie wychodzi naturalne (odpowiedź to ponoć sześć).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: Jan Kraszewski »

No to pokaż, jak rozwiązujesz.

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: 41421356 »

\(\displaystyle{ a_1a_{17}=0 \\
a_1\left(a_1+16r\right)=0 \\
a_1=0 \ \lor a_1=-16r \\ \\
S_{4n}-S_n=S_n \\
S_{4n}=2S_n \\ \\
\frac{2a_1+(4n-1)r}{2}4n=2\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n \\ \\
1^0 \ \ a_1=0 \\ \\
(4n-1)r4=2(n-1)r \\
(4n-1)2=n-1 \\
n=\frac17 \ \not\in\mathbb{N}}\)


Podobnie w dla \(\displaystyle{ a_1=-16r}\) otrzymam \(\displaystyle{ n=\frac{33}{7} \ \not\in\mathbb{N}}\).
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2019, o 20:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nie myl \cup z \vee.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: Premislav »

Obliczenia wyglądają na poprawne, najwyraźniej w treści zadania jest jakiś błąd. Sprawdź treść, nic więcej raczej nie poradzimy.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć n dla ciągu arytmetycznego

Post autor: 41421356 »

Dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ