Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.

[Wojciech Szlosek]

Zamieszczam poniżej ciekawe (przynajmniej dla maturzystów) zadanie z matury próbnej 2019 (OKE Bydgoszcz), warte 3 punkty.

Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest geometryczny o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ a_{1} \neq 0}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q \neq 0 \wedge q \neq 1}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ S_{2019} = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ... + 2019a_{2019}}\).

[Premislav]

Fajne. Sugestia (na poziomie matury):
\(\displaystyle{ (a_1+a_2+\ldots+a_{2019})+\\+(a_2+a_3+\ldots+a_{2019})+\\+(a_3+a_4+\ldots+a_{2019})}\)
i tak dalej. Mamy
\(\displaystyle{ 2019}\) takich wierszy i w \(\displaystyle{ k}\)-tym wierszu suma jest równa…

[Wojciech Szlosek]

Hmm, w k-tym wierszu suma jest więc równa \(\displaystyle{ (a_{2} + a_{3} + ... + a_{2019}) - a_{k-1} (k \in Z_{+} )}\).
Co dalej, co zrobić na tej podstawie?

[a4karo]

Hmm, w k-tym wierszu suma jest więc równa \(\displaystyle{ (a_{2} + a_{3} + ... + a_{2019}) - a_{k-1} (k \in Z_{+} )}\).
Co dalej, co zrobić na tej podstawie?

Chyba nie. Przecież brakuje całego początku, a nie jednego wyrazu

[Premislav]

W pierwszej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2019}\) wyrazach, który zaczyna się od \(\displaystyle{ a_1}\), kończy zaś na \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\), w drugiej linicje masz 2018-wyrazowy ciąg geometryczny, który zaczyna się od \(\displaystyle{ a_1 q}\), zaś kończy na \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\),
w trzeciej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2017}\) wyrazach, z których pierwszym jest \(\displaystyle{ q^2 a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). W czwartej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2016}\) wyrazach, pierwszym jest \(\displaystyle{ q^3a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). Widzisz teraz zasadę?
Każdą linijkę zwijasz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (no przedostatniej i ostatniej nie trzeba) i dodajesz. A potem jeszcze raz przyda się wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

Szybciej można to zrobić z pochodnych, ale za to mniej elementarnie. Można też zastosować metodę zaburzania sum, metoda jak tutaj: 422175.htm
W ogóle to metodę zaburzania sum opisano pokrótce w kompendium forum: 258562.htm

Zadanie wydaje się dosyć trudne jak na trzypunktowe, myślę, że gdybym dostał takie na maturze, to trochę czasu by mi zabrało, bo gdy w liceum (nie znając zresztą pochodnych) trafiłem na takie (z innymi liczbami), to rozwiązałem je jak napisałem i wpadnięcie na ten pomysł zajęło mi prawie pół godziny. No ale ja tępy jestem.

[VirtualUser]

Zgodnie z sugestią premislava masz:

\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 + a_1}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 +}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018}+}\)
\(\displaystyle{ a_{2019}}\)

i dalej już ze wzorku na sumę postępu geometrycznego

[Psiaczek]

być może autor zadania miał na na myśli taki przebieg rozwiązania:

mnożymy stronami wyjściową równość przez \(\displaystyle{ q}\)

\(\displaystyle{ qS_{2019}=a_2+2a_3+...+2018a_{2019}+2019a_{2020}}\)

odejmujemy to od wyjściowej :

\(\displaystyle{ S_{2019}(1-q)=a_1+a_2+..+a_{2019} -2019a_{2020}}\)

i praktycznie koniec, więc dał tylko 3 punkty

[Wojciech Szlosek]

Psiaczek, rzeczywiście, bardzo możliwe (teraz to widzę), co nie zmienia faktu, że to jedno z tzw. zadań "wyróżniających", wyjątkowo nietypowe jak na maturę. 4 punkty to wg mnie minimum.

[VirtualUser]

Gdy sam się uczyłem na maturkę to widziałem sporo takich zagrywek jak @psiaczek przedstawił na zadania.info ale na żadnej maturze jeszcze tego nie spotkałem