Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 paź 2018, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 10 razy
Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Zamieszczam poniżej ciekawe (przynajmniej dla maturzystów) zadanie z matury próbnej 2019 (OKE Bydgoszcz), warte 3 punkty.
Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest geometryczny o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ a_{1} \neq 0}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q \neq 0 \wedge q \neq 1}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ S_{2019} = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ... + 2019a_{2019}}\).
Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest geometryczny o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ a_{1} \neq 0}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q \neq 0 \wedge q \neq 1}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ S_{2019} = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ... + 2019a_{2019}}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Fajne. Sugestia (na poziomie matury):
\(\displaystyle{ (a_1+a_2+\ldots+a_{2019})+\\+(a_2+a_3+\ldots+a_{2019})+\\+(a_3+a_4+\ldots+a_{2019})}\)
i tak dalej. Mamy
\(\displaystyle{ 2019}\) takich wierszy i w \(\displaystyle{ k}\)-tym wierszu suma jest równa…
\(\displaystyle{ (a_1+a_2+\ldots+a_{2019})+\\+(a_2+a_3+\ldots+a_{2019})+\\+(a_3+a_4+\ldots+a_{2019})}\)
i tak dalej. Mamy
\(\displaystyle{ 2019}\) takich wierszy i w \(\displaystyle{ k}\)-tym wierszu suma jest równa…
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 paź 2018, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 10 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Hmm, w k-tym wierszu suma jest więc równa \(\displaystyle{ (a_{2} + a_{3} + ... + a_{2019}) - a_{k-1} (k \in Z_{+} )}\).
Co dalej, co zrobić na tej podstawie?
Co dalej, co zrobić na tej podstawie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Wojciech Szlosek pisze:Hmm, w k-tym wierszu suma jest więc równa \(\displaystyle{ (a_{2} + a_{3} + ... + a_{2019}) - a_{k-1} (k \in Z_{+} )}\).
Co dalej, co zrobić na tej podstawie?
Chyba nie. Przecież brakuje całego początku, a nie jednego wyrazu
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
W pierwszej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2019}\) wyrazach, który zaczyna się od \(\displaystyle{ a_1}\), kończy zaś na \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\), w drugiej linicje masz 2018-wyrazowy ciąg geometryczny, który zaczyna się od \(\displaystyle{ a_1 q}\), zaś kończy na \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\),
w trzeciej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2017}\) wyrazach, z których pierwszym jest \(\displaystyle{ q^2 a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). W czwartej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2016}\) wyrazach, pierwszym jest \(\displaystyle{ q^3a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). Widzisz teraz zasadę?
Każdą linijkę zwijasz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (no przedostatniej i ostatniej nie trzeba) i dodajesz. A potem jeszcze raz przyda się wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
Szybciej można to zrobić z pochodnych, ale za to mniej elementarnie. Można też zastosować metodę zaburzania sum, metoda jak tutaj: 422175.htm
W ogóle to metodę zaburzania sum opisano pokrótce w kompendium forum: 258562.htm
Zadanie wydaje się dosyć trudne jak na trzypunktowe, myślę, że gdybym dostał takie na maturze, to trochę czasu by mi zabrało, bo gdy w liceum (nie znając zresztą pochodnych) trafiłem na takie (z innymi liczbami), to rozwiązałem je jak napisałem i wpadnięcie na ten pomysł zajęło mi prawie pół godziny. No ale ja tępy jestem.
w trzeciej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2017}\) wyrazach, z których pierwszym jest \(\displaystyle{ q^2 a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). W czwartej linijce masz ciąg geometryczny o \(\displaystyle{ 2016}\) wyrazach, pierwszym jest \(\displaystyle{ q^3a_1}\), zaś ostatni to \(\displaystyle{ q^{2018}a_1}\). Widzisz teraz zasadę?
Każdą linijkę zwijasz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (no przedostatniej i ostatniej nie trzeba) i dodajesz. A potem jeszcze raz przyda się wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
Szybciej można to zrobić z pochodnych, ale za to mniej elementarnie. Można też zastosować metodę zaburzania sum, metoda jak tutaj: 422175.htm
W ogóle to metodę zaburzania sum opisano pokrótce w kompendium forum: 258562.htm
Zadanie wydaje się dosyć trudne jak na trzypunktowe, myślę, że gdybym dostał takie na maturze, to trochę czasu by mi zabrało, bo gdy w liceum (nie znając zresztą pochodnych) trafiłem na takie (z innymi liczbami), to rozwiązałem je jak napisałem i wpadnięcie na ten pomysł zajęło mi prawie pół godziny. No ale ja tępy jestem.
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Zgodnie z sugestią premislava masz:
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 + a_1}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 +}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018}+}\)
\(\displaystyle{ a_{2019}}\)
i dalej już ze wzorku na sumę postępu geometrycznego
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 + a_1}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3 + a_2 +}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018} + \dots + a_3}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ a_{2019} + a_{2018}+}\)
\(\displaystyle{ a_{2019}}\)
i dalej już ze wzorku na sumę postępu geometrycznego
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
być może autor zadania miał na na myśli taki przebieg rozwiązania:
mnożymy stronami wyjściową równość przez \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ qS_{2019}=a_2+2a_3+...+2018a_{2019}+2019a_{2020}}\)
odejmujemy to od wyjściowej :
\(\displaystyle{ S_{2019}(1-q)=a_1+a_2+..+a_{2019} -2019a_{2020}}\)
i praktycznie koniec, więc dał tylko 3 punkty
mnożymy stronami wyjściową równość przez \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ qS_{2019}=a_2+2a_3+...+2018a_{2019}+2019a_{2020}}\)
odejmujemy to od wyjściowej :
\(\displaystyle{ S_{2019}(1-q)=a_1+a_2+..+a_{2019} -2019a_{2020}}\)
i praktycznie koniec, więc dał tylko 3 punkty
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 paź 2018, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 10 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Psiaczek, rzeczywiście, bardzo możliwe (teraz to widzę), co nie zmienia faktu, że to jedno z tzw. zadań "wyróżniających", wyjątkowo nietypowe jak na maturę. 4 punkty to wg mnie minimum.
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Suma pewnego ciągu - próbna matura PR.
Gdy sam się uczyłem na maturkę to widziałem sporo takich zagrywek jak @psiaczek przedstawił na zadania.info ale na żadnej maturze jeszcze tego nie spotkałem