Granica ciągu z parametrem

[Unforg1ven]

Obliczyć granicę następującego ciągu liczbowego.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{a_{n+1}} {a_n} -1 \right),\text{ gdzie }a_n=n^p \ln n}\), \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\)
Jakieś wskazówki?

[Janusz Tracz]

Ukryta treść:    

Ustalmy \(\displaystyle{ p\in\RR}\) oraz zauważmy że:

\(\displaystyle{ {\red{n}}{\green{\left( \frac{a_{n+1}} {a_n} -1 \right)}}=\underbrace{\frac{{\green{\exp\left( p\ln \frac{n+1}{n}+\ln \left( \frac{\ln \left( n+1\right) }{\ln n} \right) \right)-1}}}{{\blue{p\ln \frac{n+1}{n}+\ln \left( \frac{\ln \left( n+1\right) }{\ln n} \right)}} }}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{{\blue{p\ln \frac{n+1}{n}+\ln \left( \frac{\ln \left( n+1\right) }{\ln n} \right)}}}{ \frac{1}{{\red{n}}} }}_{ \rightarrow p}}\)


pierwsza granica dąży do \(\displaystyle{ 1}\) bo \(\displaystyle{ p\ln \frac{n+1}{n}+\ln \left( \frac{\ln \left( n+1\right) }{\ln n} \right) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) a poza tym wiemy że dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{e^x-1}{x} \rightarrow 1}\)

druga granica dąży do \(\displaystyle{ p}\) bo

\(\displaystyle{ pn\ln \frac{n+1}{n} \rightarrow p}\)

co również wynika ze znanej granicy specjalnej oraz

\(\displaystyle{ n\ln\left( \frac{\ln \left( n+1\right) }{\ln n} \right)\right) \rightarrow 0}\)

co wynika z (jeszcze nie wiem jak to sprytnie udowodnić bez DH). Zatem suma granic daje \(\displaystyle{ p}\) i ostatecznie iloczyn z \(\displaystyle{ 1}\) daje że wynik to \(\displaystyle{ p}\)

[janusz47]

Podstawienie do wzoru ciągu \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n+1}.}\)

Uproszczenie potęg z \(\displaystyle{ n.}\)

Przekształcenie wzoru ciągu, korzystając ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

[Unforg1ven]

Podstawienie do wzoru ciągu \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n+1}.}\)

Uproszczenie potęg z \(\displaystyle{ n.}\)

Przekształcenie wzoru ciągu, korzystając ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

No mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{a_{n+1}} {a_n} -1 \right)= \lim_{n \to \infty} n \left( \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^p \log_n \left( n+1 \right) -1\right)}\)
i co dalej?

[janusz47]

Nie potrzebna zamiana na podstawę logarytmu \(\displaystyle{ n.}\)

\(\displaystyle{ n\cdot \left[ \left (1 + \frac{1}{n}\right)^{p}\cdot \frac{\ln(n+1)- ln(n)}{\ln(n)} \right] = \left( 1 +\frac{1}{n}\right)^{p} \frac{\ln \left (1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\ln(n)} ...}\)