Wybranane zadania z ciągów. Jak to się robi?

[VnCr]

\(\displaystyle{ Witam! \ Prosze \ o \ pomoc \ nie \ tylko \ w \ zrobieniu \ tych \ zadan \ ale \ takze \ w \ zrobieniu \ ich \ w \ przejrzysty \ sposob \ abym \ pojal \ istote \ ich \ rozwiazywania}\)

\(\displaystyle{ 1.Wyznacz \ ciag \ arytmetyczny \ majac \ dane}\)
a) \(\displaystyle{ S_{6}=3}\), \(\displaystyle{ S_{20}=130}\)

\(\displaystyle{ 2. W \ ciagu \ arytmetycznym \ (a_{n}). \ a_{4}=0 \\ Oblicz \ S_{7}}\)

\(\displaystyle{ 3.Rozwiaz \ rownanie \ przyjmujac, \ ze:}\)
\(\displaystyle{ a) \ 1+2+3+.....+x=78}\)
\(\displaystyle{ b) \ 3+9+15+....+x=363}\)

\(\displaystyle{ 4.Oblicz \ pole \ prostokata \ o \ obwodzie \ 140cm \ wiedzac, \ ze \ dlugosc \ jego \ bokow \ oraz \ przyprostokatnych \ tworza \ ciag \ arytmetyczny}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot 6\\
S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20\\
\begin{cases} \frac{a_1+a_6}{2}\cdot 6=3\\
\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=130\end{cases} \\

\begin{cases} (a_1+a_6)\cdot 3=3\\
(a_1+a_{20})\cdot 10=130\end{cases} \\
\begin{cases} a_1+a_1+5r=1\\ a_1+a_1+19r=13\end{cases} \\
\begin{cases} 2a_1+5r=1\\ 2a_1+19r=13\end{cases} \\
\begin{cases} -2a_1-5r=-1\\ 2a_1+19r=13\end{cases} \\
14r=12\\}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}\\
a_1=\frac{1-5r}{2}\\
a_1=\frac{1-\frac{30}{7}}{2}=
\frac{-\frac{21}{7}}{2}=-\frac{21}{14}\\
\begin{cases}a_1=-\frac{21}{14}\\r=\frac{6}{7}\end{cases}}\)


2.
\(\displaystyle{ a_4=0\ \rightarrow\ a_1+3r=0\ \rightarrow\ a_1=-3r\\
S_7=\frac{a_1+a_7}{2}\cdot 7=\frac{(a_1+a_1+6r)7}{2}=
\frac{(2a_1+6r)7}{2}=
\frac{[2(-3r)+6r]7}{2}=
\frac{(-6r+6r)7}{2}=0}\)

3.a) b) podobnie
\(\displaystyle{ 1+2+...+x=73\\
\frac{1+x}{2}\cdot x=73\\
x^2+x-156=0\\
\Delta=...\\
x_1=-13\notin\mathbb{D}\quad x_2=12\in\mathbb{D}\\}\)


4.
a - krotszy bok
a+r- dluzszy bok
a+2r - przekatna
a,r>0
\(\displaystyle{ 2a+2a+2r=140\\
2a+r=70\\
(a+r)^2+a^2=(a+2r)^2\\
a^2+2ar+r^2+a^2=a^2+4ar+4r^2\\
a^2-2ar-3r^2=0\\
\sqrt{\Delta}=4r\\
a_1=\frac{2r-4r}{2}=-r\\
a_2=\frac{2r+4r}{2}=3r\\}\)


POZDRO