Monotoniczność ciągu Eulera...

[matma_jest_ciekawa]

Witam serdecznie,
Poniższe zadanie pochodzi z konkursu ST (dr A. Marczak)

Treść brzmi: oblicz granicę oraz zbadaj monotoniczność ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n->\ \infty } \left( 1- \frac{5}{n} \right) ^{n+4}}\)

O ile granica to żaden problem, to monotoniczność sprawia mi kłopot. W zasadzie, cały egzamin sprawił większości osób kłopot. Zdało go około 10 max. 15 osób na 180... Próbowałem to rozwiązać na kilka sposobów, każdy był zły. Liczę na Państwa pomoc.

Pozdrawiam!

[Premislav]

Co do monotoniczności, przyjrzyj się rozważaniom z tego wątku:
369958.htm


A jak Ci się nie chce tego czytać, to dla \(\displaystyle{ n>5}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ left(1- frac{5}{n}
ight) ^{n+4}<left( 1-frac{5}{n+1}
ight)^{n+5} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( 1+ frac{5}{n-5}
ight)^{n+4}>left( 1+ frac{5}{n-4}
ight)^{n+5} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( frac{n(n-4)}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4} >1+ frac{5}{n-4} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( 1+ frac{5}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4}>1+ frac{5}{n-4}}\),
natomiast z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Bernoulliego

mamy
\(\displaystyle{ left( 1+ frac{5}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4}ge 1+ frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)}}\),
więc wystarczy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ 1+ frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)}ge 1+ frac{5}{n-4}}\) dla \(\displaystyle{ n>5}\),
a to po skracaniach i wymnożeniu na pałę przez iloczyn mianowników sprowadza się do
\(\displaystyle{ 4n ge 11}\), co dla \(\displaystyle{ n>5}\) jest oczywiste.


A dla \(\displaystyle{ nle 5}\) obawiam się, że trzeba sprawdzać ręcznie. Mnie się nie chce tego rozpisywać. Nie wiem w ogóle, do czego to potrzebne.