Iloczyn wyrazów ciągu arytmetycznego

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ a_1,dots,a_n}\) będą dodatnimi wyrazami ciągu arytmetycznego. Pokazać, że

\(\displaystyle{ a_1a_2cdotldotscdot a_nleq left(frac{a_1+a_n}{2}
ight)^n.}\)

(zadanie na motywach 426065.htm)

[Premislav]

Widziałem wzorcówkę (naprawdę ładną), więc nic kreatywnego nie dodam (jak zwykle zresztą):
wystarczy skorzystać sprytnie ze znanej nierówności
\(\displaystyle{ ab\le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2}\) (średnie albo zwinięcie do kwadratu):
\(\displaystyle{ a_1 a_n \le \left( \frac{a_1+a_n}{2} \right)^2\\ a_2 a_{n-1}\le \left( \frac{a_2+a_{n-1}}{2} \right)^2 =\left( \frac{a_1+a_n}{2} \right)^2 \\ \ldots a_n a_1 \le \left( \frac{a_n+a_1}{2} \right)^2}\)
kluczowa jest obserwacja, że w ciągu arytmetycznym mamy
\(\displaystyle{ a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots}\),
ogólnie jeśli \(\displaystyle{ k+m=i+j, \ k,m,i,j \in \NN}\), to \(\displaystyle{ a_k+a_m=a_i+a_j}\).
Mnożymy stronami tych \(\displaystyle{ n}\) nierówności, potem wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy (możemy, bo \(\displaystyle{ a_i}\)są dodatnie z założenia) i mamy
\(\displaystyle{ a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n\leq \left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)^n}\)
co kończy dowód. Ale sam bym na to nie wpadł.

PS Chcę umrzeć.-- 12 lis 2017, o 06:01 --Można też bezpośrednio z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla \(\displaystyle{ n}\) składników: \(\displaystyle{ a_1, a_2\ldots a_n}\) (po czym podnosimy do potęgi n-tej i dostajemy tezę), ponieważ w ciągu arytmetycznym mamy \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}= \frac{a_1+a_n}{2}}\), ale powyższe rozwiązanie (pomysł nie jest mojego autorstwa) jest dużo ładniejsze.

[Janusz Tracz]

Można to też szacować z dołu, prawdziwa dla dodatnich ciągów arytmetycznych jest:

\(\displaystyle{ \sqrt{a_1 \cdot a_n} \le \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \le \frac{a_1+a_n}{2}}\)

prawa strona:    

Tak jak już Premislav pisał jest to nierówność \(\displaystyle{ G_n \le A_n}\)

lewa strona:    

Indukcyjnie.