Matematyka.pl

Suma n poczatkowych kolejnych wyrazow ciagu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest obliczana wedlug wzoru
\(\displaystyle{ S_{n}=n^2+3n}\) ,\(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ a_{n}}\). Wykaz, ze ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciagiem arytmetycznym.

Zauważ, że \(\displaystyle{ S_{1}=a_{1}=1+3=4}\). Ponadto \(\displaystyle{ S_{n}=a_{1}+a_{2}+... +a_{n-1}+a_{n}}\) i \(\displaystyle{ S_{n-1}=a_{1}+a_{2} +...+a_{n-1}}\), dla \(\displaystyle{ n>2}\). Czyli \(\displaystyle{ S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}\). Stąd już podstawiając otrzymujesz, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=n^2 +3n - (n-1)^2 -3(n-1)=n^2 +3n -n^2 +2n-1-3n+3=2n+2}\)
Różnica \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}=2(n+1)+2 - 2n-2=2n+4-2n-2=2}\) jest stała, więc dany ciąg jest arytmetyczny.

Matematyka.pl

wyznacz an

wyznacz an

wyznacz an