Matematyka.pl

Czy ciąg \(\displaystyle{ 1,-2, 3,-4, 5,-6, ...}\) da się opisać nierekurencyjnie? Jeśli tak to jak?

Dzieki bardzo. Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?

mkd pisze:Mam jeszcze pytanie: czy każdy ciąg opisany rekurencyjnie da sie opisać nierekurencyjnie?

Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne... w każdym razie znalezienie takiego wzoru jawnego dla ciągu określonego rekurencyjnie daleko nie zawsze jest tak łatwe jak w tym przypadku.

Tak jak max powiedział. Niektóre są bardzo skomplikowane, inne mniej, niektóre w ogóle nierozwiązywalne. Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową, a otym więcej przeczytasz na:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=25578

max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

polskimisiek pisze:niektóre w ogóle nierozwiązywalne

Czyli nie mają rozwiązania czy nie potrafimy go znaleść?

Przepraszam, za takie banalne pytania ale matematyką interesuje się od niedawna, mam duuże braki i w ogóle zastanawiam się jak mi się udawało zdawać z klasy do klasy. Dopiero ostatnio mnie jakoś naszło na liczenie. Pozdrawiam, m.

Mówię nierozwiązywalne ciągi rekurencyjne, czyli takie, że nie da się znaleźć wyrazu ogólnego, ale z takimi się raczej nie spotkasz. Proponuję skupić się na rekurencjach liniowych

Co to znaczy, że rekurencja jest liniowa?

Przeczytaj wszystko w linku do kompendium, który Ci podałem.

O rany.. No rzeczywiście! Dziękuję!

mkd pisze:

max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.

polskimisiek pisze:Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową

To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.

max pisze:

mkd pisze:

max pisze:Zależy co rozumiesz przez opisanie nierekurencyjne...

Przez opisanie nierekurencyjne rozumiem nie odwoływanie sie do \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) w wzorze ogólnym na \(\displaystyle{ a_{n}}\).

No jeszcze wypadałoby określić czym (jakimi działaniami, funkcjami) możemy się posługiwać, aby wyrazić ten wzór ogólny.

polskimisiek pisze:Na pewno da się rozwiązać dowolną rekurencję liniową

To ja chętnie zobaczyłbym ogólną metodę rozwiązywania rekurencji liniowej postaci:
\(\displaystyle{ a_{n + k + 1} = c_{k}a_{n + k} + c_{k - 1}a_{n+ k - 1} + \ldots + c_{0}a_{n} + f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną, \(\displaystyle{ (c_{0}, \ldots , c_{k})}\) jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych a \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i wyrażającą się w postaci skończonej przez funkcje elementarne.
Albo chociaż dowód wspomnianej rozwiązywalności.

OK, masz tu rację, ale czy na pewno postać, którą podałeś to rekurencja liniowa?

Liniowe równanie rekurencyjne k-tego stopnia, niejednorodne.