trzy liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 10:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nicość
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
trzy liczby
Trzy liczby, których suma jest równa \(\displaystyle{ 93}\), tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby?
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
trzy liczby
Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a,\,a+r,\,a+6r}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ a+a+r+a+6r=93}\), czyli \(\displaystyle{ 3a+7r=93}\). Ponadto \(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a\cdot(a+6r)}\) (warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego - wyraz środkowy jest średnią geometryczną skrajnych).
\(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a\cdot(a+6r)\\a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar\\r^{2}=4ar\\r=0\,\vee\,r=4a}\)
Wracamy do pierwszego równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3a=93\,\vee\,31a=93\\a=31\,\vee\,a=3}\)
Szukane liczby to (3,15,75) lub (31,31,31)
\(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a\cdot(a+6r)\\a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar\\r^{2}=4ar\\r=0\,\vee\,r=4a}\)
Wracamy do pierwszego równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3a=93\,\vee\,31a=93\\a=31\,\vee\,a=3}\)
Szukane liczby to (3,15,75) lub (31,31,31)