Jak przedstawia się nierówność Karamaty dla ciągu wklęsłego?

[k221]

Na stronie

Kod: Zaznacz cały

http://hybris.wikidot.com/nierownosc-karamaty

jest przedstawiona i wytłumaczona nierówność Karamaty ale w niektórych zadaniach używa się jej dla funkcji wklęsłej podczas gdy całe rozważanie opiera się o wypukłą. Jak więc zmieni się to twierdzenie dla funkcji wklęsłej? Wystarczy odwrócić znak \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}f\left( x _{i} \right) \ge \sum_{i=1}^{n}f\left( y _{i} \right)}\) i zamiast tego wstawić \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}f\left( x _{i} \right) \le \sum_{i=1}^{n}f\left( y _{i} \right)}\)

[szw1710]

Tak, zmieni się tylko kierunek. Zauważ, że \(\displaystyle{ f}\) jest wklęsła \(\displaystyle{ \iff -f}\) jest wypukła. Zastosuj nierówność Karamaty do funkcji \(\displaystyle{ -f}\) pod założeniem wklęsłości \(\displaystyle{ f}\).

Wszystkie nierówności o charakterze liniowym się tak zachowują. Np. zobacz na definicję funkcji wklęsłej czy też nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej:

\(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge\frac{f(x)+f(y)}{2}.}\)

Nierówność Hermite'a-Hadamarda dla funkcji wklęsłej:

\(\displaystyle{ \frac{f(x)+f(y)}{2}\le\frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\dd t\le f\left(\frac{x+y}{2}\right)\,.}\)

Jako ćwiczenie udowodnij te nierówności wychodząc od ich wersji wypukłościowych.