Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) jest ciągiem rosnącym, zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ {b_{n}}}\) jeśli \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n}-a_{n+1}}\). Czy to zadanie w ogóle da się jednoznacznie rozwiązać?

no nie wiem ale monotonicznośc sprawdzam dla ciągu b:
\(\displaystyle{ b_{n+1} - b_{n}= a_{n+1} - a_{n+2} - (a_{n} - a_{n+1}\\
\Delta =b_{n+1} - b_{n}\\
\Delta = 2a_{n+1} -(a_{n+2} +a_{n})\\}\)

Dla arytmetycznego ciągu :
\(\displaystyle{ \Delta= 0}\)

Dla geometrycznego:
\(\displaystyle{ \Delta= a_{n} \cdot(q-1)^2}\)
z zadania wiemy ze ciąg a był rosnący a więc \(\displaystyle{ a_{n}>0 \wedge q>1}\) lub \(\displaystyle{ a_{n}0}\), więc
\(\displaystyle{ \Delta}\) jest uzależniona od \(\displaystyle{ a_{n}}\)
znak delty bedzie oznaczał monotonicznośc ciągu

Właśnie też mi się wydaje, że bez założenia że ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny nie można udzielić pewnej odpowiedzi na zadanie. Nie znamy w końcu stosunków kolejnych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\), a tą różnicę można ewentualnie trochę bardziej przejrzyście zapisać...

racja, Doktor, trochę pogmatwałeś, można to zapisac:
\(\displaystyle{ b_{n+1}-b_{n}=-(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_{n})}\)
i wtedy widac zależnosc od tego, czy różnice rosną są stałe, czy maleją