Matematyka.pl

Liczby
\(\displaystyle{ sin ^{2}x, cos ^{2}x, 2sinx+1}\)
tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczbe x, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ x \in \left<0, 2 \pi \right>}\)

Definicja:
Trzy kolejne liczby \(\displaystyle{ (p,d,t)}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, gdy jest spełniony warunek
\(\displaystyle{ 2d=p+t}\)
Niech:
\(\displaystyle{ p=\sin^{2}{x}}\),
\(\displaystyle{ d=\cos^{2}{x}}\),
\(\displaystyle{ t=2\sin{x}+1}\).
Zatem
\(\displaystyle{ 2\cos^{2}{x}=sin^{2}{x}+2\sin{x}+1}\). Korzystając z jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \cos^{2}{x}=1-\sin^{2}{x}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2(1-\sin^{2}{x})=sin^{2}{x}+2\sin{x}+1}\)
Teraz wystarczy tylko rozwiązać to równanie stosując podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin{t},\quad t\in <-1;1>}\) i gotowe