1. Ciąg arytmetyczny składa się z 20 wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 310, a suma wyrazów o numerach nieparzystych 280. Znajdź dwa środkowe wyrazy tego ciągu.
2. Napisz trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym suma n początkowych wyrazów jest równa :
a) Sn = 7n^2
b) Sn = 5n^2 + 3n
Dziękuję za pomoc.
(2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego
(2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego
Nudzi mi się i sięgam po stare zadanka
ciąg arytmetyczny: każde dwa kolejne wyrazy ciągu różnią się o tę sama liczbę r
Suma n kolejnych wyrazów: A1...An = (A1 + An)*n/2
Ogólnie robimy tak, ze któryś z wyrazów (najczęściej pierwszy)oznaczamy x, a nastepne x+r, x+2r itd, a poprzednie (jeśli są) x-r, x-2r itd. Jeżeli pierwszy wyraz ciągu oznaczymy przez x, to (n +1)-szy bedzie się wyrażał przez x+n*r
W zadaniu najczęściej są podane dwie informacje, wykorzystując te wzory mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Zadanie1.
Najłatwiej zrobić sobie tak, żeby mało liczyć. Czyli dwa środkowe wyrazy ciągu oznaczymy jako A10 = x (10ty wyraz ciągu) i A11 = x+r (11ty wyraz ciagu). Wtedy
A1 = x-9r
A2 = x-8r
A19 = x+9r
A20 = x+10r
Suma wyrazów na parzystych miejscach (Uwaga, tworzą też ciąg arytmetyczny, bo każde dwa kolejne wyrazy różnią sie o tyle samo!) jest równa 310. Wyrazów na parzystych miejscach jest 10, od 2go do 20go:
(A2 + A20)*10/2 = (x-8r + x+10r)*10/2 = (x+r)*10 = 310
stąd A11 = x+r = 31
Suma wyrazów na nieparzystych miejscach (także, tworzą ciąg arytmetyczny, bo każde dwa kolejne wyrazy różnią sie o tyle samo!) jest równa 280. Wyrazów na nieparzystych miejscach jest też 10 od 1go do 19go:
(A1 + A19)*10/2 = (x-9r + x+9r)*10/2 = x*10 = 280
stąd A10 = x = 28
ODP: 28 i 31
Zadanie 2
a) Sn=7n^2 wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczny n wyrazów ciągu, w szczególności dla 1, 2 i 3:
S1=7 = A1 - pierwszy wyraz ciągu
S2 = 7*2^2 = 28 = A1 + A2 =7 + A2 - stąd drugi wyraz ciągu jest równy 28 - 7 = 21
S3 = 7*3^2 = 63 = S2 + A3 = 28 + A3 - stąd trzeci wyraz ciągu jest równy 63 - 28 = 35.
ODP: 7, 21, 35
b) Analogicznie do a)
A1 = 5*1^2 + 3*1 = 8
A2 = 5*2^2 + 3*2 - 8 = 26 - 8 = 18
tu juz widać, ze A3 będzie równe 28, bo się zwiększa o 10, ale mozna też na siłę tą samą metodą:
A2 = 5*3^2 + 3*3 - 26 = 54 - 26 = 28.
ODP: 8, 18, 28
ciąg arytmetyczny: każde dwa kolejne wyrazy ciągu różnią się o tę sama liczbę r
Suma n kolejnych wyrazów: A1...An = (A1 + An)*n/2
Ogólnie robimy tak, ze któryś z wyrazów (najczęściej pierwszy)oznaczamy x, a nastepne x+r, x+2r itd, a poprzednie (jeśli są) x-r, x-2r itd. Jeżeli pierwszy wyraz ciągu oznaczymy przez x, to (n +1)-szy bedzie się wyrażał przez x+n*r
W zadaniu najczęściej są podane dwie informacje, wykorzystując te wzory mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Zadanie1.
Najłatwiej zrobić sobie tak, żeby mało liczyć. Czyli dwa środkowe wyrazy ciągu oznaczymy jako A10 = x (10ty wyraz ciągu) i A11 = x+r (11ty wyraz ciagu). Wtedy
A1 = x-9r
A2 = x-8r
A19 = x+9r
A20 = x+10r
Suma wyrazów na parzystych miejscach (Uwaga, tworzą też ciąg arytmetyczny, bo każde dwa kolejne wyrazy różnią sie o tyle samo!) jest równa 310. Wyrazów na parzystych miejscach jest 10, od 2go do 20go:
(A2 + A20)*10/2 = (x-8r + x+10r)*10/2 = (x+r)*10 = 310
stąd A11 = x+r = 31
Suma wyrazów na nieparzystych miejscach (także, tworzą ciąg arytmetyczny, bo każde dwa kolejne wyrazy różnią sie o tyle samo!) jest równa 280. Wyrazów na nieparzystych miejscach jest też 10 od 1go do 19go:
(A1 + A19)*10/2 = (x-9r + x+9r)*10/2 = x*10 = 280
stąd A10 = x = 28
ODP: 28 i 31
Zadanie 2
a) Sn=7n^2 wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczny n wyrazów ciągu, w szczególności dla 1, 2 i 3:
S1=7 = A1 - pierwszy wyraz ciągu
S2 = 7*2^2 = 28 = A1 + A2 =7 + A2 - stąd drugi wyraz ciągu jest równy 28 - 7 = 21
S3 = 7*3^2 = 63 = S2 + A3 = 28 + A3 - stąd trzeci wyraz ciągu jest równy 63 - 28 = 35.
ODP: 7, 21, 35
b) Analogicznie do a)
A1 = 5*1^2 + 3*1 = 8
A2 = 5*2^2 + 3*2 - 8 = 26 - 8 = 18
tu juz widać, ze A3 będzie równe 28, bo się zwiększa o 10, ale mozna też na siłę tą samą metodą:
A2 = 5*3^2 + 3*3 - 26 = 54 - 26 = 28.
ODP: 8, 18, 28