rozwiąż równanie - ciąg

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: kamilrun »

Witam,
mam problem z jedną rzeczą w tym zadaniu. Oto zadanie:
rozwiąż równanie \(\displaystyle{ n+(n+1)+(n+2)+...+3n+(3n+1)=232}\)
..żeby to rozwiązac to trzeba skorzystac ze wzoru na sume, pierwszy i ostatni wyraz mam i w rozwiązaniu do zadania jest napisane, że ilośc wyrazów ciągu wynosi \(\displaystyle{ 2n+2}\) ,ale nie wiem skąd.
Proszę o pomoc.

Pozdrawiam
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: tometomek91 »

r=1;
\(\displaystyle{ a_{k}=a_{1}+(k-1)r}\); gdzie k to liczba wyrazów ciągu
\(\displaystyle{ 3n+1=n+k-1 \Rightarrow k=2n+2}\)
Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: kamilrun »

Dzięki Wielkie za pomoc
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: VanHezz »

A skąd wiadomo, że ten ciąg \(\displaystyle{ (n, n+1, n+2, ..., 3n, 3n+1)}\) jest arytmetyczny i że ma wzór na wyraz ogólny \(\displaystyle{ a_{n}=3n+1}\)? Zgodnie z tym wzorem pierwszy wyraz ciągu to \(\displaystyle{ 4}\). I nie wiem czy \(\displaystyle{ a_{1} =n}\), czy \(\displaystyle{ a_{1}=3 \cdot 1+1}\). Dziwne to.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: a4karo »

A kto Ci powiedział, że wyraz ogólny to `3n+1`? Ten zapis mocno sugeruje, że sa tam wszystkie liczby naturalne od `n` do `3n+1` po kolei, zatem różnica tego ciagu to ...?.

Poza tym zauważ, że numeracja ciągu arytmetycznego nie musi się zaczynać od `1`.
Poza tym złapałeś się w bardzo niebezpieczną pułapkę: numerek `n` przy `a_n` to nie jest ten sam numerek co `n` w `(n,...)`. Wsk. wypisz wyrazy tego ciagu używając licznika oznaczonego przez np. `k`:
`a_1=n, a_2=n+1, ..., a_k=?`
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: Niepokonana »

Skoro różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, to pewnie jest arytmetyczny. Wyobraź sobie, że wycinamy kawałek ze środka, a nie z początku.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: rozwiąż równanie - ciąg

Post autor: VanHezz »

Ok, przedstawiłem sobie ten ciąg jako funkcję \(\displaystyle{ a_{k} (n)=n+k-1}\) i już bardziej mi się to układa. Dzięki.
ODPOWIEDZ