Wzór ciągu

[Ermes]

Jak wyznaczyć wzór ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=?}\)
jeśli mam podane:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \\ a_{n+1} = 3a_{n} + 1}\)

jak to będzie ?

[Marcin_Garbacz]

arytmetycznego??

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)*r}\) - ogolny arytm.
\(\displaystyle{ a_{n}=1+(n-1)*r}\) bo \(\displaystyle{ a_{1}=1}\).

\(\displaystyle{ a_{n+1}=3a_{n}+1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{1}+(n+1-1)*r}\)

\(\displaystyle{ 1+nr=3(1+(n-1)*r)+1}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{-3}{2n-3}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=1+(n-1)* \frac{-3}{2n-3} =...}\)

Moglem sie gdzies pomylic, posprawdzaj sobie ;p

[lukasz1804]

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie musi być ciągiem arytmetycznym; jest tak tylko wtedy, gdy jest on ciągiem stałym.

[Inkwizytor]

arytmetycznego??

\(\displaystyle{ r= \frac{-3}{2n-3}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=1+(n-1)* \frac{-3}{2n-3} =...}\)

Moglem sie gdzies pomylic, posprawdzaj sobie ;p

Ostatnimi dwiema linijkami udowodniłeś że nie jest arytmetyczny. Jesteś niekonsekwentny.
Poza tym skąd to przypuszczenie że arytmetyczny? Przecież z postaci rekurencyjnej widać że nie jest arytmetyczny!!!!!!

[Zordon]

Wzór będzie postaci:
\(\displaystyle{ a_n=a3^n+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to pewne stałe, które trzeba wyznaczyć.

[Inkwizytor]

Jak wyznaczyć wzór ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=?}\)
jeśli mam podane:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \\ a_{n+1} = 3a_{n} + 1}\)

jak to będzie ?

\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \\ a_{n} = 3a_{n-1} + 1 \\ a_{n+1} = 3a_{n} + 1}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ a_{n} = \alpha^{n}}\)
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \alpha^{n} = 3 \alpha^{n-1} + 1 \\ \alpha^{n+1} = 3 \alpha^{n} + 1}\)
pierwszą mnożymy razy (-1)
\(\displaystyle{ -\alpha^{n} = -3 \alpha^{n-1} - 1 \\ \alpha^{n+1} = 3 \alpha^{n} + 1}\)
i obie dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ \alpha^{n+1} - \alpha^{n} = 3 \alpha^{n} - 3 \alpha^{n-1} + 1 -1}\)
wszystko na jedną stronę:
\(\displaystyle{ \alpha^{n+1} - 4 \alpha^{n} + 3 \alpha^{n-1} = 0}\)
dzielimy przez \(\displaystyle{ \alpha^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \alpha^{2} - 4 \alpha + 3 = 0}\)

reszta pójdzie jak po maśle

[frej]

Usunąłem treść posta. Do jutra trwa konkurs 134554.htm
Proszę zatem o nieodpowiadanie w tym temacie do zakończenia konkursu. Po upłynięciu terminu przywrócę treść tego posta.


frej

[bedbet]

Poza tym i tak było błędnie rozwiązane.

[frej]

Temat przywrócony.

[dramacik]

Weźmy pomocniczy ciąg
\(\displaystyle{ A_n=a_n+\frac{1}{2}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ A_{n+1}=a_{n+1}+\frac{1}{2}=3a_n+\frac{3}{2}=3(A_n-\frac{1}{2})+\frac{3}{2}=3A_n}\)
Widać, że \(\displaystyle{ A_1=\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ A_n=\frac{1}{2}3^n}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)}\)