Ciag arytmetyczny - pole trojkata,suma,rownanie

[HBFS]

1)W pewnym ciagu arytmetycznym \(\displaystyle{ a_k = m}\) i \(\displaystyle{ a_m = k}\) Wyraz \(\displaystyle{ a_n}\) za pomoca \(\displaystyle{ n,k,m}\)

Nawet jesli mi cos swita to nie bardzo wiem jak to zapisac

2) Kata trojkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny. Obwod tego trojkata wynosi \(\displaystyle{ 3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\). Oblicz dlugosci jego bokow.

Napisalem ze \(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\) z czego wyszlo mi ze \(\displaystyle{ a_2 = \sqrt{6} + \sqrt{2}}\) ale wedlug ksiazki nie ma takiej odpowiedzi a innych pomyslow nie mam.

3)Czy istnieje ciag arytmetyczny ktorego suma \(\displaystyle{ n}\) wyrazow jest rowna\(\displaystyle{ 2n^2 -3n +1}\) da wszystkich \(\displaystyle{ n>0}\)?

Podstawiajac pod wzor ulozylem uklad rownan

\(\displaystyle{ a_1 + a_2 = 3}\) i \(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 = 10}\)

Rozwiazujac otrzymalem wyniki \(\displaystyle{ r=\frac{11}{3}}\) i \(\displaystyle{ a_1 = - \frac{1}{3}}\)

Z czego utrzowylem wzor ogolny ciagu \(\displaystyle{ a_n = \frac{11}{3}n - 4}\)

Wiec moim zdaniem istnieje taki ciag, ale jednak wedlug ksiazki nie, gdzie zrobilem blad?

4) Rozwiaz:
\(\displaystyle{ (x+1)(x+4)(x+7)+...+(x+28) = 155}\)

\(\displaystyle{ a_n = a_1 + (n-1)r = x + 3 + 3n - 3 = x - 2 + 3n}\)

\(\displaystyle{ a_n = 28}\)

\(\displaystyle{ x-2+3n=28}\) \(\displaystyle{ n=\frac{30-x}{3}}\)

\(\displaystyle{ S_n= \frac{x+1+x+2}{2}n=155}\)

Rozwiazuje dochodze do dziwnych wynikow a w odpowiedziach jest zwykle \(\displaystyle{ x=1}\)

Z gory dziekuje za jakąkolwiek pomoc.

[klaustrofob]

1) \(\displaystyle{ a_k=a_1+(k-1)r,\ a_m=a_1+(m-1)r}\) podstawiasz, rozwiązujesz
2) kąty tworzą arytmetyczny. wyznacz je - zauważ, że jest to znany trójkąt. na podstawie tego oblicz boki.
3) rozumowanie opiera się na domniemaniu, że taki ciąg istnieje. jeżeli istnieje, to musi być taki, jak napisałeś. ale może nie istnieć - dlatego po znalezieniu "kandydata" na rozwiązanie, należy sprawdzić jego poprawność. przykład: rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x}=-1}\) podnosimy stronami do kwadratu i mamy x=1. ale przecież wyjściowe rówanie nie ma rozwiązań!
4) nic nie rozumiem.

[Marcin_Garbacz]

Zadanie 2

Nie wiem skąd wziąłeś to rówanie ale jest napisane wyraźnie że miara katów tworzy ciąg arytmetyczny.

\(\displaystyle{ \alpha,\beta,90}\) - kąty które tworzą ciąg arytmetyczny w trójkącie prostokątnym.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+90=2 \beta \\ \alpha+\beta=90 \end{cases}}\)

I powstaje ładny trójkąt o kątach 30,60,90. Dalej już chyba pojdzie.

Zadanie 4

\(\displaystyle{ S_{n}=155}\)
\(\displaystyle{ r=3}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=x+1}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=x+28}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)*r}\)
\(\displaystyle{ x+28=x+1+(n-1)*3}\)
\(\displaystyle{ x+28-x-1+3=3n}\)
\(\displaystyle{ 30=3n}\)
\(\displaystyle{ n=10}\)

\(\displaystyle{ 155= \frac{(x+1)+(x+28)}{2}*10}\)