Uzasadnij równość (raczej trudniejesze)

[Pedersen]

Witam!
Mam mały problem z pewnym zdanakiem i nie wiem jak to ugryźć ale licze na Waszą pomoc i wytłumaczenie, a wiec przejdzmy do sedna.
Uzasadnij, że dla \(\displaystyle{ a 1}\) zachodzi rowność \(\displaystyle{ a + 2a ^{2} + 3a ^{3} + 4a ^{4} + ... +30a ^{30} = \frac{a(30a ^{31} - 31a ^{30} + 1) }{(1-a) ^{2} }}\)

[aga92]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ a+2a^{2} + ... + 30 a^{30} = a (1 + 2a + 3a^{2} + ... + 30 a ^{29}) = a (a + a^{2} + ...+ a^{30})'}\)

[Pedersen]

Dziękówa za wskazówkę ale what next??

[aga92]

\(\displaystyle{ = a (a \frac{1 - a^{30}}{1-a})' = a (\frac{a-a^{31}}{1-a})' = a \frac{(1-31a^{30})(1-a) - (a-a^{31})(-1) }{(1-a)^{2}}= \\
=a \frac{1 - a - 31a^{30}+31a^{31}+a-a^{31}}{(1-a)^{2}} = \frac{a (1 - 31a^{30}+30a^{31})}{(1-a)^{2}}}\)