Stosunek wyrazów sumy ciągu

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 151 razy

Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: 41421356 » 10 sty 2020, o 12:49

Wykaż, że w dowolnym ciągu geometrycznym zbieżnym o ilorazie \(\displaystyle{ q}\) stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: Premislav » 10 sty 2020, o 12:55

Wyrażenie „stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum" urąga regułom składni języka polskiego. Pozdro, z fartem.

Dodano po 5 minutach 53 sekundach:
Czy chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu?

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 151 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: 41421356 » 10 sty 2020, o 14:57

Wydaje mi się, że chodzi właśnie o ten iloraz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: Premislav » 10 sty 2020, o 15:15

Tylko wtedy to przeważnie nie jest prawda, ponieważ jeśli oznaczymy iloraz przez \(\displaystyle{ q}\), przy czym z treści zadania \(\displaystyle{ |q|<1}\) (dla ciągu stałego od razu widać, że nie działa), to mamy
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n}}}\), a to dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a gdy \(\displaystyle{ q\neq \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}\neq 1}\). Mamy wszak
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{0}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\) lub przy numeracji od \(\displaystyle{ 1, \ S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\).

Prawdopodobnie chodziło o coś innego, ale niepoprawne językowo sformułowanie uniemożliwiło mi zrozumienie treści. :(

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 151 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: 41421356 » 13 sty 2020, o 16:01

Już rozwiązałem poprawnie sformułowane zadanie. Chodziło o stosunek wyrazu ciągu do sumy kolejnych wyrazów tego ciągu, tj

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{S-S_n}}\)

Dziękuję bardzo za pomoc i przepraszam za zamieszanie.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: Gosda » 15 sty 2020, o 20:21

To nie jest "stosunek (...) do sumy kolejnych wyrazów ciągu". Prędzej stosunek wyrazów ciągu do sumy ogonów (tak się chyba mówi?) ciągu zaczynających się za tym wyrazem. Tak czy siak lepiej nie kombinować i po prostu symbolami zapisać, o co nam chodzi.

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 151 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: 41421356 » 15 sty 2020, o 21:55

Problem w tym, że w oryginale zadanie było napisane słownie w języku angielskim.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25967
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: Jan Kraszewski » 15 sty 2020, o 21:59

Możemy zrobić wyjątek i pozwolić Ci zacytować je w oryginale...

JK

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 151 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: 41421356 » 16 sty 2020, o 16:33

Prove that if \(\displaystyle{ a_n \ \ , n\in\mathbb{N}_+}\) is a converging geometric sequence, then the ratio of every term to the sum of all the consequtive terms is \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu

Post autor: Premislav » 16 sty 2020, o 18:01

No to chodzi tutaj o \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{\sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}}=\frac{1-q}{q}}\), tak jak pisał Gosda. I o ile zna się wzór na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, to zadanie jest nawet poniżej poziomu matury. Sformułowanie z ogonem (częste w akademickim RP) ładne, daję papieską okejkę.

ODPOWIEDZ