Matematyka.pl

Witam wsyzstkich.
Mam takie male porblemki z tymi zadankami .
1.udowodnij,ze dla kazdej liczby calkowitej n, liczba (n(do piatej potegi)÷120)-(n�÷24)+(n÷30) jest calkowita.
2.wykaz ze roznica kwadratow niepodzielnych przez 4 liczb parzystych jest liczba podzielna przez 32.
3. udowodnij,ze dla zadnego calkowitego n, liczba n�+1 nie jest podzielna przez 3
4.udowodnij,ze dla dowolnej liczby calkowitej n, liczba n�+3n�+5n+3 jest podzielna przez 3.

za pomoc z gry dziekuje
pozdrawiam
nimq
[/hide]

2.
Liczby niepodzielne przez 4 dają przy dzieleniu przez 4 reszty 1,2,3. Spośród nich parzysta jest tylko ta, która daje resztę 2.
Liczby te są więc postaci 4n+2, 4m+2.
\(\displaystyle{ (4n+2)^2-(4m+2)^2=16n^2+16n+4-16m^2-16m-4 =16(n^2+n-m^2-m) = \\ =16((n-m)(n+m)+(n-m))=16(n-m)(n+m+1)}\)
Oczywiście liczba ta jest podzielna przez 16. By wykazać podzielność przez 32, wystarczy pokazać, że choć jeden z pozostałych czynników jest podzielny przez 2.
1.Jeśli jednocześnie liczby n oraz m są parzyste lub obie jednocześnie nieparzyste, to czynnik n-m jest parzysty, zatem liczba dzieli się przez 16 oraz 2, więc przez 32.

2.Załóżmy zatem, że spośród liczb n oraz m jedna jest parzysta, druga nieparzysta. Wtedy czynnik n-m jest nieparzysty, lecz n+m+1 jest parzysty, a więc i w tym przypadku jest, analogicznie jak poprzednio, podzielność przez 32.