Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Z ciekawości pytam:
Mamy dane twierdzenie logiki formalnej, udowodnione. Na ile innych sposobów można je udowodnić ? Czy nawet na nieskończenie wiele (przeliczalnie wiele) sposobów, gdyż rozumowania można dowolnie komplikować?? Nie wiem, ktoś wie
Po prostu jestem ciekaw.
Mamy dane twierdzenie logiki formalnej, udowodnione. Na ile innych sposobów można je udowodnić ? Czy nawet na nieskończenie wiele (przeliczalnie wiele) sposobów, gdyż rozumowania można dowolnie komplikować?? Nie wiem, ktoś wie
Po prostu jestem ciekaw.
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Odpowiedź w zapisach formalnych (ogólnych) jest następująca:
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli p to q" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli p to q" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Co rozumiesz dokładnie przez logikę formalną?
Jeśli przez różne sposoby rozumiemy po prosu różne dowody (ciągi formuł), to oczywiście jest ich nieskończenie wiele, bo wystarczy dopisywać kolejne formuły, które nawet nie muszą mieć żadnego związku z dowodzonym twierdzeniem.Na ile innych sposobów można je udowodnić ?
Ciekawszym pytaniem jest: co jeśli ograniczymy się do tych dowodów \(\displaystyle{ \mathcal{P}=(P_1,\ldots,P_n)}\) (gdzie \(\displaystyle{ P_n}\) jest dowodzonym twierdzeniem), w których \(\displaystyle{ P_n}\) zależy od każdego \(\displaystyle{ P_i}\) dla \(\displaystyle{ i<n}\) ?
Ukryta treść:
??
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Przez różne dowody rozumiem różne ciągi formuł, ale mam inną definicję dowodu formalnego:
Ciąg formuł \(\displaystyle{ \left( P_1, P_2,\ldots,P_n\right) }\) jest dowodem formalnym formuły \(\displaystyle{ P}\), gdy \(\displaystyle{ P _{n} }\) jest tym samym napisem co napis \(\displaystyle{ P}\), a każda formuła z tego ciągu formuł \(\displaystyle{ P_i}\) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie po przez zastosowanie do nich reguły Modus Ponens.
Twierdzeniem rachunku predykatów nazywamy dowolną formułę, dla której istnieje jej dowód formalny.
Oznacza to, że twierdzenia są konsekwencjami (poprzez wynikanie, implikację) logicznymi aksjomatów.
Przy takim podejściu, dane twierdzenie, na ile sposobòw można je udowodnić??
Ciąg formuł \(\displaystyle{ \left( P_1, P_2,\ldots,P_n\right) }\) jest dowodem formalnym formuły \(\displaystyle{ P}\), gdy \(\displaystyle{ P _{n} }\) jest tym samym napisem co napis \(\displaystyle{ P}\), a każda formuła z tego ciągu formuł \(\displaystyle{ P_i}\) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie po przez zastosowanie do nich reguły Modus Ponens.
Twierdzeniem rachunku predykatów nazywamy dowolną formułę, dla której istnieje jej dowód formalny.
Oznacza to, że twierdzenia są konsekwencjami (poprzez wynikanie, implikację) logicznymi aksjomatów.
Przy takim podejściu, dane twierdzenie, na ile sposobòw można je udowodnić??
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Toż ja mam taką samą definicję dowodu formalnego z tą jedyną różnicą, że formuła może powstać też z formuły występującej wcześniej w dowodzie przez zastosowanie reguły generalizacji. Podejrzewam, że o tym zapomniałeś.Jakub Gurak pisze: ↑4 cze 2022, o 14:38 Przez różne dowody rozumiem różne ciągi formuł, ale mam inną definicję dowodu formalnego:
Ciąg formuł \(\displaystyle{ \left( P_1, P_2,\ldots,P_n\right) }\) jest dowodem formalnym formuły \(\displaystyle{ P}\), gdy \(\displaystyle{ P _{n} }\) jest tym samym napisem co napis \(\displaystyle{ P}\), a każda formuła z tego ciągu formuł \(\displaystyle{ P_i}\) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie po przez zastosowanie do nich reguły Modus Ponens.
Podtrzymuję to co napisałem wcześniej - nieskończenie wiele, chyba że dodamy to zastrzeżenieJakub Gurak pisze: ↑4 cze 2022, o 14:38 Przy takim podejściu, dane twierdzenie, na ile sposobòw można je udowodnić??
Wtedy podejrzewam, że także nieskończenie wiele, choć przynajmniej nie jest to takie oczywiste.
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Tak zapomniałem. I często dodaje się też aksjomaty dla równości.
No ale jak to ma być oczywiste, możesz podać przykład gdzie tworzy się tak nieskończenie wiele dowodów. Możesz objaśnić
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
\(\displaystyle{ 5}\) ma się tak do logiki formalnej, to tak jakby powiedzieć, że Polska to jest Rzeszów- co prawda jest to miasto Polski, ale co w nim szczególnego?
A na poważnie: mam prawo nie ufać tej odpowiedzi.
Powtórzę jeszcze raz pytanie: jak utworzyć te nieskończenie wiele dowodów
A na poważnie: mam prawo nie ufać tej odpowiedzi.
Powtórzę jeszcze raz pytanie: jak utworzyć te nieskończenie wiele dowodów
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Podtrzymuję co napisałem:Jakub Gurak pisze: ↑7 cze 2022, o 20:57 \(\displaystyle{ 5}\) ma się tak do logiki formalnej, to tak jakby powiedzieć, że Polska to jest Rzeszów - co prawda jest to miasto Polski, ale co w nim szczególnego?
A na poważnie: mam prawo nie ufać tej odpowiedzi.
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.
Chętnie wyjaśnię ci skąd wzięło się to 5, ale to wymaga przyjęcia trzech definicji zero-jedynkowych w nieznanej matematykom interpretacji:
1. definicja warunku wystarczającego
##
2. definicja warunku koniecznego
##
3. definicja elementu wspólnego zbiorów lub zdarzenia możliwego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na bazie powyższych definicji można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym iż dowolne twierdzenia matematyczne "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" można udowodnić na 5 i tylko 5 tożsamych sposobów tzn. cztery wynikają z rachunku zero-jedynkowego, natomiast piąty dowód wynika z definicji kontrprzykładu, innej niż w aktualnej logice matematyków.
P.S.
Jestem przybyszem ze świata techniki - w 1980 roku skończyłem elektronikę na Politechnice Warszawskiej.
Wszystko co wyżej napisałem mogę udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej, ściślej mówiąc w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki.
Bliższe przedstawienie tego co napisałem nie nadaje się do żadnego działu regulaminowego forum matematyka.pl (na przykład tego), bowiem interpretacja zero-jedynkowych definicji których używam (1,2,3) nie jest znana matematykom.
Ściślej mówiąc 100% definicji w temacie logika matematyczna mamy sprzecznych.
Jak się zorientowałem jedynym sensownym działem matematyki.pl gdzie moglibyśmy podyskutować jest kawiarnia Szkocka.
Wkrótce zwrócę się do admina matematyki.pl z prośbą o pozwolenie na przedstawienie nieznanej matematykom teorii matematycznej obsługującej wszelkie zdania warunkowe "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)"
Dla opisu kompletnej teorii obsługującej wszelkie zdania warunkowe "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" potrzebuję zaledwie trzech zero-jedynkowych definicji znaczków jak wyżej (1,2,3).
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.
Zgodzimy się chyba, że istnieje nieskończenie wiele twierdzeń (czyli zdań, które mają dowód). Wybierzmy więc ciąg (różnowartościowy) \(\displaystyle{ (T_n)_{n\in\NN}}\), gdzie każde \(\displaystyle{ T_n}\) ma dowód \(\displaystyle{ (P_1^n,\ldots,P_{k_n}^n)}\) i powiedzmy, że \(\displaystyle{ T}\) jest twierdzeniem (o dowodzie \(\displaystyle{ (P_1,\ldots,P_{k})}\)), dla którego zbudujemy nieskończenie wiele (innych) dowodów. Wystarczy zauważyć, że zawsze ciągJakub Gurak pisze: ↑7 cze 2022, o 20:57 Powtórzę jeszcze raz pytanie: jak utworzyć te nieskończenie wiele dowodów
\(\displaystyle{ (P_1^1,\ldots,P_{k_1}^1, P_1^2,\ldots,P_{k_2}^2,\ldots, P_1^n,\ldots,P_{k_n}^n,P_1,\ldots,P_k)}\)
z formalnego punktu widzenia jest dowodem formuły \(\displaystyle{ P_k=T}\).
Czyli dopisujemy na początku zupełnie nieistotne (z punktu widzenia dowodzonego twierdzenia) formuły. Można oczywiście poprawić to jeszcze tak, żeby w żadnym dowodzie nie powtarzały się formuły - inaczej staje się ten problem zupełnie trywialny.