Na ile sposobów można udowodnić formalnie dane twierdzenie.

[Jakub Gurak]

Z ciekawości pytam:

Mamy dane twierdzenie logiki formalnej, udowodnione. Na ile innych sposobów można je udowodnić ? Czy nawet na nieskończenie wiele (przeliczalnie wiele) sposobów, gdyż rozumowania można dowolnie komplikować?? Nie wiem, ktoś wie

Po prostu jestem ciekaw.

[rafal3006]

Odpowiedź w zapisach formalnych (ogólnych) jest następująca:
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli p to q" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.

[matmatmm]

Mamy dane twierdzenie logiki formalnej, udowodnione.

Co rozumiesz dokładnie przez logikę formalną?

Na ile innych sposobów można je udowodnić ?

Jeśli przez różne sposoby rozumiemy po prosu różne dowody (ciągi formuł), to oczywiście jest ich nieskończenie wiele, bo wystarczy dopisywać kolejne formuły, które nawet nie muszą mieć żadnego związku z dowodzonym twierdzeniem.

Ciekawszym pytaniem jest: co jeśli ograniczymy się do tych dowodów \(\displaystyle{ \mathcal{P}=(P_1,\ldots,P_n)}\) (gdzie \(\displaystyle{ P_n}\) jest dowodzonym twierdzeniem), w których \(\displaystyle{ P_n}\) zależy od każdego \(\displaystyle{ P_i}\) dla \(\displaystyle{ i<n}\) ?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P_j}\) zależy bezpośrednio od \(\displaystyle{ P_i}\) w dowodzie \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\), gdy \(\displaystyle{ P_j}\) jest uzasadnione przez pewną regułę wnioskowania w związku z obecnością \(\displaystyle{ P_i}\) jako formuły poprzedzającej. \(\displaystyle{ P_j}\) zależy od \(\displaystyle{ P_i}\) w dowodzie \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\), gdy istnieje (skończony) ciąg formuł dowodu \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) taki, że \(\displaystyle{ P_i}\) jest wyrazem pierwszym, \(\displaystyle{ P_j}\) ostatnim, a każdy kolejny wyraz zależy bezpośrednio od poprzedniego.

Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli p to q" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.

??

[Jakub Gurak]

Przez różne dowody rozumiem różne ciągi formuł, ale mam inną definicję dowodu formalnego:

Ciąg formuł \(\displaystyle{ \left( P_1, P_2,\ldots,P_n\right) }\) jest dowodem formalnym formuły \(\displaystyle{ P}\), gdy \(\displaystyle{ P _{n} }\) jest tym samym napisem co napis \(\displaystyle{ P}\), a każda formuła z tego ciągu formuł \(\displaystyle{ P_i}\) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie po przez zastosowanie do nich reguły Modus Ponens.

Twierdzeniem rachunku predykatów nazywamy dowolną formułę, dla której istnieje jej dowód formalny.

Oznacza to, że twierdzenia są konsekwencjami (poprzez wynikanie, implikację) logicznymi aksjomatów.
Przy takim podejściu, dane twierdzenie, na ile sposobòw można je udowodnić??

[matmatmm]

Przez różne dowody rozumiem różne ciągi formuł, ale mam inną definicję dowodu formalnego:

Ciąg formuł \(\displaystyle{ \left( P_1, P_2,\ldots,P_n\right) }\) jest dowodem formalnym formuły \(\displaystyle{ P}\), gdy \(\displaystyle{ P _{n} }\) jest tym samym napisem co napis \(\displaystyle{ P}\), a każda formuła z tego ciągu formuł \(\displaystyle{ P_i}\) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie po przez zastosowanie do nich reguły Modus Ponens.

Toż ja mam taką samą definicję dowodu formalnego z tą jedyną różnicą, że formuła może powstać też z formuły występującej wcześniej w dowodzie przez zastosowanie reguły generalizacji. Podejrzewam, że o tym zapomniałeś.

Przy takim podejściu, dane twierdzenie, na ile sposobòw można je udowodnić??

Podtrzymuję to co napisałem wcześniej - nieskończenie wiele, chyba że dodamy to zastrzeżenie

ograniczymy się do tych dowodów \(\displaystyle{ \mathcal{P}=(P_1,\ldots,P_n)}\) (gdzie \(\displaystyle{ P_n}\) jest dowodzonym twierdzeniem), w których \(\displaystyle{ P_n}\) zależy od każdego \(\displaystyle{ P_i}\) dla \(\displaystyle{ i<n}\)

Wtedy podejrzewam, że także nieskończenie wiele, choć przynajmniej nie jest to takie oczywiste.

[Jakub Gurak]

z tą jedyną różnicą, że formuła może powstać też z formuły występującej wcześniej w dowodzie przez zastosowanie reguły generalizacji. Podejrzewam, że o tym zapomniałeś.

Tak zapomniałem. I często dodaje się też aksjomaty dla równości.

No ale jak to ma być oczywiste, możesz podać przykład gdzie tworzy się tak nieskończenie wiele dowodów. Możesz objaśnić

[a4karo]

A co się nie spodobało w odpowiedzi 5?

[Jakub Gurak]

\(\displaystyle{ 5}\) ma się tak do logiki formalnej, to tak jakby powiedzieć, że Polska to jest Rzeszów- co prawda jest to miasto Polski, ale co w nim szczególnego?
A na poważnie: mam prawo nie ufać tej odpowiedzi.

Powtórzę jeszcze raz pytanie: jak utworzyć te nieskończenie wiele dowodów

[rafal3006]

\(\displaystyle{ 5}\) ma się tak do logiki formalnej, to tak jakby powiedzieć, że Polska to jest Rzeszów - co prawda jest to miasto Polski, ale co w nim szczególnego?
A na poważnie: mam prawo nie ufać tej odpowiedzi.

Podtrzymuję co napisałem:
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" można udowodnić na pięć i tylko pięć tożsamych sposobów.

Chętnie wyjaśnię ci skąd wzięło się to 5, ale to wymaga przyjęcia trzech definicji zero-jedynkowych w nieznanej matematykom interpretacji:
1. definicja warunku wystarczającego
##
2. definicja warunku koniecznego
##
3. definicja elementu wspólnego zbiorów lub zdarzenia możliwego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na bazie powyższych definicji można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym iż dowolne twierdzenia matematyczne "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" można udowodnić na 5 i tylko 5 tożsamych sposobów tzn. cztery wynikają z rachunku zero-jedynkowego, natomiast piąty dowód wynika z definicji kontrprzykładu, innej niż w aktualnej logice matematyków.

P.S.
Jestem przybyszem ze świata techniki - w 1980 roku skończyłem elektronikę na Politechnice Warszawskiej.
Wszystko co wyżej napisałem mogę udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej, ściślej mówiąc w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki.

Bliższe przedstawienie tego co napisałem nie nadaje się do żadnego działu regulaminowego forum matematyka.pl (na przykład tego), bowiem interpretacja zero-jedynkowych definicji których używam (1,2,3) nie jest znana matematykom.
Ściślej mówiąc 100% definicji w temacie logika matematyczna mamy sprzecznych.
Jak się zorientowałem jedynym sensownym działem matematyki.pl gdzie moglibyśmy podyskutować jest kawiarnia Szkocka.
Wkrótce zwrócę się do admina matematyki.pl z prośbą o pozwolenie na przedstawienie nieznanej matematykom teorii matematycznej obsługującej wszelkie zdania warunkowe "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)"
Dla opisu kompletnej teorii obsługującej wszelkie zdania warunkowe "Jeśli \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ q}\)" potrzebuję zaledwie trzech zero-jedynkowych definicji znaczków jak wyżej (1,2,3).

[matmatmm]

Powtórzę jeszcze raz pytanie: jak utworzyć te nieskończenie wiele dowodów

Zgodzimy się chyba, że istnieje nieskończenie wiele twierdzeń (czyli zdań, które mają dowód). Wybierzmy więc ciąg (różnowartościowy) \(\displaystyle{ (T_n)_{n\in\NN}}\), gdzie każde \(\displaystyle{ T_n}\) ma dowód \(\displaystyle{ (P_1^n,\ldots,P_{k_n}^n)}\) i powiedzmy, że \(\displaystyle{ T}\) jest twierdzeniem (o dowodzie \(\displaystyle{ (P_1,\ldots,P_{k})}\)), dla którego zbudujemy nieskończenie wiele (innych) dowodów. Wystarczy zauważyć, że zawsze ciąg

\(\displaystyle{ (P_1^1,\ldots,P_{k_1}^1, P_1^2,\ldots,P_{k_2}^2,\ldots, P_1^n,\ldots,P_{k_n}^n,P_1,\ldots,P_k)}\)

z formalnego punktu widzenia jest dowodem formuły \(\displaystyle{ P_k=T}\).

Czyli dopisujemy na początku zupełnie nieistotne (z punktu widzenia dowodzonego twierdzenia) formuły. Można oczywiście poprawić to jeszcze tak, żeby w żadnym dowodzie nie powtarzały się formuły - inaczej staje się ten problem zupełnie trywialny.