Implikacja i dyzjunkcja za pomocą alternatywy i koniunkcji

[stary_wyjadacz_cyfr]

Witam
Jestem studentem na pierwszym roku i robię zadania ze starej książki
Mam udowodnić, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji ani dyzjunkcji
Jak się zabrać za ten problem?

[a4karo]

Przyjrzyj się symetrii każdej z tych operacji

[matmatmm]

Przyjrzyj się symetrii każdej z tych operacji

Sugerujesz, że każda formuła dwóch zmiennych zbudowana z koniunkcji i alternatywy jest symetryczna?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ p\wedge (p\vee q)}\)

[Jan Kraszewski]

Najlepiej przyjrzeć się wartościowaniu \(\displaystyle{ p=q=0}\).

JK

[stary_wyjadacz_cyfr]

1 Co to znaczy że formuła/operacja jest symetryczna?
2 Jan Kraszewski, czy chodzi o to, że dla alternatywy i koniunkcji \(\displaystyle{ p,q=0}\) będzie \(\displaystyle{ 0}\) a dla implikacji i dysjunkcji \(\displaystyle{ p,q=0}\) będzie \(\displaystyle{ 1}\)?

[a4karo]

Chyba się trochę wyrwałem z tą symetrią. Sorry

[Jan Kraszewski]

2 Jan Kraszewski, czy chodzi o to, że dla alternatywy i koniunkcji \(\displaystyle{ p,q=0}\) będzie \(\displaystyle{ 0}\) a dla implikacji i dysjunkcji \(\displaystyle{ p,q=0}\) będzie \(\displaystyle{ 1}\)?

Tak. Oczywiście w pełni formalny dowód jest nieco bardziej wymagający.

JK

[stary_wyjadacz_cyfr]

Hmm
Nie wystarczy że napiszę że z p,q = 0 nie będzie 1
Jak miałem poprzednie zadania np. utwórz koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji to pisałem po prostu: \(\displaystyle{ \neg{(\neg{p}\lor\neg{p})}}\)
A tu nie da się w ten sposób udowodnić

[Jan Kraszewski]

Nie wystarczy że napiszę że z p,q = 0 nie będzie 1

A skąd ja mam wiedzieć, czego od Ciebie wymagają?

Jak miałem poprzednie zadania np. utwórz koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji to pisałem po prostu: \(\displaystyle{ \neg{(\neg{p}\lor\neg{p})}}\)

No to akurat jest niezbyt dobrze... Raczej \(\displaystyle{ \neg{(\neg{p}\lor\neg{\red{q}})}.}\)

A tu nie da się w ten sposób udowodnić

Bo to jest zupełnie inna sytuacja. Formalnie powinieneś najpierw rekurencyjnie skonstruować zbiór wszystkich możliwych formuł, które są zbudowane z dwóch zmiennych za pomocą koniunkcji i alternatywy, a następnie indukcją po złożoności formuły pokazać, że dla wskazanego wartościowania każda formuła z Twojego zbioru jest wartościowana na \(\displaystyle{ 0}\).

JK

[stary_wyjadacz_cyfr]

A skąd ja mam wiedzieć, czego od Ciebie wymagają?

W poleceniu jest:

Udowodnić, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji ani dyzjunkcji.

Tylko tyle

No to akurat jest niezbyt dobrze... Raczej \(\displaystyle{ \neg{(\neg{p}\lor\neg{\red{q}})}.}\)

Fakt
Miałem tam napisać \(\displaystyle{ q}\)

Bo to jest zupełnie inna sytuacja. Formalnie powinieneś najpierw rekurencyjnie skonstruować zbiór wszystkich możliwych formuł, które są zbudowane z dwóch zmiennych za pomocą koniunkcji i alternatywy, a następnie indukcją po złożoności formuły pokazać, że dla wskazanego wartościowania każda formuła z Twojego zbioru jest wartościowana na \(\displaystyle{ 0}\).

Rekurencyjnie skonstruować zbiór wszystkich formuł...
Indukcją po złożoności formuły pokazać...
Obawiam się, że jeszcze nie operuję takim językiem

Dodano po 4 minutach 22 sekundach:
Jan Kraszewski
Jakie materiały do nauki logiki poleciłbyś?

[Jan Kraszewski]

Tylko tyle

Nie wiem, czego oczekuje od Ciebie osoba, która kazała Ci robić te zadania. Jednemu wystarczy taka nieformalna uwaga, jaką napisałeś, inny będzie oczekiwał formalnego dowodu. Nie mam pojęcia, co studiujesz i na jakim poziomie sa realizowane te zagadnienia.

Rekurencyjnie skonstruować zbiór wszystkich formuł...
Indukcją po złożoności formuły pokazać...
Obawiam się, że jeszcze nie operuję takim językiem

Więc być może wystarczy taka nieformalna uwaga. Ale gwarancji Ci nie dam.

Jakie materiały do nauki logiki poleciłbyś?

To zależy, co rozumiesz przez "logikę".

JK

[stary_wyjadacz_cyfr]

Nie wiem, czego oczekuje od Ciebie osoba, która kazała Ci robić te zadania. Jednemu wystarczy taka nieformalna uwaga, jaką napisałeś, inny będzie oczekiwał formalnego dowodu. Nie mam pojęcia, co studiujesz i na jakim poziomie sa realizowane te zagadnienia.

Generalnie jest to zadanie z książki, którą posługuje się nasz wykładowca podczas ćwiczeń i z niej robi zadania "Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach" Marka i Onyszkiewicza
A to zadanie jest jednym z początkowych

To zależy, co rozumiesz przez "logikę".

Mam na myśli logikę matematyczną

[Jan Kraszewski]

Generalnie jest to zadanie z książki, którą posługuje się nasz wykładowca podczas ćwiczeń i z niej robi zadania "Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach" Marka i Onyszkiewicza
A to zadanie jest jednym z początkowych

Pytanie nie brzmi skąd jest zadanie, tylko co Twój prowadzący uzna za satysfakcjonującą odpowiedź.

Mam na myśli logikę matematyczną

Zadanie, które przytoczyłeś, to nie jest "logika matematyczna", tylko proste elementy rachunku zdań, które możesz znaleźć w podręcznikach ze wstępu do matematyki. Logika matematyczna to bardziej zaawansowane sprawy, z którymi zapewne nie będziesz miał do czynienia.

JK