Pusty iloczyn kartezjański

[Tyran]

Jeśli \(\displaystyle{ A\times B=\emptyset}\), to:
\(\displaystyle{ A=B=\emptyset}\)?
\(\displaystyle{ A-B=\emptyset}\)?
\(\displaystyle{ A=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B=\emptyset}\)?

[Jakub Gurak]

Wskazówki:

Jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A \times B=?}\)

Jeśli \(\displaystyle{ B=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A \times B=?}\)

A jeśli \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ B \neq \emptyset}\),
wtedy istnieje element \(\displaystyle{ a\in A}\), i podobnie istnieje element \(\displaystyle{ b\in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ (a,b)\in A \times B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A \times B}\) jest ...

Dokończenie tego pozostawiam Tobie, nie jest to trudne.
A potem musisz wyciągnąć z tego wszystkiego wnioski.

[Tyran]

Czyli, jeżeli \(\displaystyle{ A×B=∅}\) , to i zbiór \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest pusty, więc wszystkie moje pytania są prawdziwe, tak?

[Jakub Gurak]

Zauważ, że:

jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), a zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest jakikolwiek , w szczególności niepusty, np. jednoelementowy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}, }\) to: \(\displaystyle{ A \times B=\emptyset \times B=\emptyset.}\)
Więc pierwszy z faktów nie musi zachodzić.

[Tyran]

Aha aha, czyli bierzemy pod uwagę, że jeden z nich jest pusty, drugi nie i w tym przypadku pewne jest tylko, że 3 pytanie jest prawdziwe

[Jakub Gurak]

Tak, tylko trzecie.