Zapis funkcji zdaniowych za pomcą kwantyfikatorów.

[iksnb1]

Witam,
proszę o sprawdzenie, czy zapisy są poprawne.

1. Każda liczba nieparzysta większa od 3 rozkłada się na sumę dwóch liczb pierwszych:

\(\displaystyle{ \forall_{x}\Bigg[\bigg(\forall_{k}\left(x \neq 2k\right) \quad\wedge\quad x > 3\bigg) \quad\Rightarrow\quad\exists_{p_1, p_2} \bigg(x = p_1 + p_2\quad\wedge\quad \forall_{s,t}\Big(\big(p_1=st \Rightarrow (s=1 \vee s=p_1)\big)\wedge\big(p_2=st \Rightarrow (s=1\vee s=p_2)\big)\Big)\bigg)\Bigg]}\)

2. Każde trzy liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność:

\(\displaystyle{ \forall_{x,y,z}\exists_{a}\bigg[\exists_{r,s,t}\Big(a=rx=sy=tz\Big)\quad\wedge\quad\forall_{b}\Big(\exists_{u,v,w}\big(b=ux=vy=wz\big)\quad\Rightarrow\quad a \le b\Big)\bigg]}\)

Z góry dziękuję za odpowiedź

[Jan Kraszewski]

1. Każda liczba nieparzysta większa od 3 rozkłada się na sumę dwóch liczb pierwszych:

\(\displaystyle{ \forall_{x}\Bigg[\bigg(\forall_{k}\left(x \neq 2k\right) \quad\wedge\quad x > 3\bigg) \quad\Rightarrow\quad\exists_{p_1, p_2} \bigg(x = p_1 + p_2\quad\wedge\quad \forall_{s,t}\Big(\big(p_1=st \Rightarrow (s=1 \vee s=p_1)\big)\wedge\big(p_2=st \Rightarrow (s=1\vee s=p_2)\big)\Big)\bigg)\Bigg]}\)

Nie wiem, jakie miałeś wytyczne co do dozwolonych symboli, ale nieparzystość można zapisać prościej.
Myśl jest dobra, ale masz usterkę i błąd. Usterka polega na tym, że zmienne pod kwantyfikatorami powinny przebiegać jakieś zbiory, nie ma powodu uważać, że domyślnie wszystkie zmienne przebiegają zbiór liczb naturalnych dodatnich. Błąd polega na niepoprawnej definicji liczby pierwszej - zapomniałeś, że liczba pierwsza musi być większa od \(\displaystyle{ 1}\).

2. Każde trzy liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność:

\(\displaystyle{ \forall_{x,y,z}\exists_{a}\bigg[\exists_{r,s,t}\Big(a=rx=sy=tz\Big)\quad\wedge\quad\forall_{b}\Big(\exists_{u,v,w}\big(b=ux=vy=wz\big)\quad\Rightarrow\quad a \le b\Big)\bigg]}\)

W zasadzie dobrze, choć znów brakuje mi informacji, po jakich zbiorach przebiegają zmienne.

Poza tym mam uwagę ideologiczną - słowo "najmniejsza" w sformułowaniu "najmniejsza wspólna wielokrotność" to termin z zakresu zbiorów (częściowo) uporządkowanych i odnosi się tak naprawdę nie do zwykłego porządku na liczbach naturalnych, tylko do porządku wyznaczonego przez relację podzielności. Najmniejsza wspólna wielokrotność zbioru liczb naturalnych to kres górny tego zbioru w tym porządku, czyli element najmniejszy jego zbioru ograniczeń górnych. I dlatego bardziej pasuje mi \(\displaystyle{ a\mid b}\) zamiast \(\displaystyle{ a\le b}\). Ponieważ jednak dla ustalonych liczb naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\) zdania

\(\displaystyle{ \exists_{a}\bigg[\exists_{r,s,t}\Big(a=rx=sy=tz\Big)\quad\wedge\quad\forall_{b}\Big(\exists_{u,v,w}\big(b=ux=vy=wz\big)\quad\Rightarrow\quad a \le b\Big)\bigg]}\)

i

\(\displaystyle{ \exists_{a}\bigg[\exists_{r,s,t}\Big(a=rx=sy=tz\Big)\quad\wedge\quad\forall_{b}\Big(\exists_{u,v,w}\big(b=ux=vy=wz\big)\quad\Rightarrow\quad a \mid b\Big)\bigg]}\)

są równoważne, więc zazwyczaj nie zwraca się na to uwagi.

JK

[iksnb1]

Dziękuję za cenne uwagi.

Nie wiem, jakie miałeś wytyczne co do dozwolonych symboli, ale nieparzystość można zapisać prościej.

Mogłam korzystać tylko z symboli \(\displaystyle{ =,<, \le ,+, \cdot }\), symboli logicznych oraz liczb. Czy w tym przypadku można warunek nieparzystości zapisać bez użycia kwantyfikatora? Myślę, żeby zastąpić poprzednik implikacji wyrażeniem \(\displaystyle{ 2x+1>3}\). Wtedy w poprawionej wersji z ograniczeniem zmiennych to zdanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{N}}\Bigg[2x+1>3\quad\Longrightarrow\quad\exists_{p_1,p_2\in\mathbb{N}}\bigg(p_1>1\quad\wedge\quad p_2>1\quad\wedge\quad 2x+1=p_1+p_2\quad\wedge\\ \land\quad\forall_{s,t\in\mathbb{N}}\Big(\big(p_1=st\Longrightarrow ((s=1)\vee(s=p_1))\big)\wedge(p_2=st\Longrightarrow((s=1)\vee(s=p_2))\Big)\bigg)\Bigg]}\)
Czy taka wersja jest poprawna?

Najmniejsza wspólna wielokrotność zbioru liczb naturalnych to kres górny tego zbioru w tym porządku, czyli element najmniejszy jego zbioru ograniczeń górnych. I dlatego bardziej pasuje mi \(\displaystyle{ a\mid b}\) zamiast \(\displaystyle{ a\le b}\).

Więc, aby nie odbiegać od definicji NWW należałoby w tym przypadku zastąpić \(\displaystyle{ a \le b}\) wyrażeniem:\(\displaystyle{ \exists_{c\in\mathbb{N}}:ac=b}\) ?

[Jan Kraszewski]

Mogłam korzystać tylko z symboli \(\displaystyle{ =,<, \le ,+, \cdot }\), symboli logicznych oraz liczb. Czy w tym przypadku można warunek nieparzystości zapisać bez użycia kwantyfikatora? Myślę, żeby zastąpić poprzednik implikacji wyrażeniem \(\displaystyle{ 2x+1>3}\). Wtedy w poprawionej wersji z ograniczeniem zmiennych to zdanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{N}}\Bigg[2x+1>3\quad\Longrightarrow\quad\exists_{p_1,p_2\in\mathbb{N}}\bigg(p_1>1\quad\wedge\quad p_2>1\quad\wedge\quad 2x+1=p_1+p_2\quad\wedge\\ \land\quad\forall_{s,t\in\mathbb{N}}\Big(\big(p_1=st\Longrightarrow ((s=1)\vee(s=p_1))\big)\wedge(p_2=st\Longrightarrow((s=1)\vee(s=p_2))\Big)\bigg)\Bigg]}\)
Czy taka wersja jest poprawna?

Tak, ale zauważ, że poprzednik implikacji można uprościć:

\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{N}}\Bigg[x>1\quad\Longrightarrow\quad\exists_{p_1,p_2\in\mathbb{N}}\bigg(p_1>1\quad\wedge\quad p_2>1\quad\wedge\quad 2x+1=p_1+p_2\quad\wedge\\ \land\quad\forall_{s,t\in\mathbb{N}}\Big(\big(p_1=st\Longrightarrow ((s=1)\vee(s=p_1))\big)\wedge(p_2=st\Longrightarrow((s=1)\vee(s=p_2))\Big)\bigg)\Bigg]}\)

bądź nawet

\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{N} \setminus \{0,1\}}\Bigg[\exists_{p_1,p_2\in\mathbb{N}\setminus \{0,1\}}\bigg(2x+1=p_1+p_2\quad\land\quad\forall_{s,t\in\mathbb{N}}\Big(\big(p_1=st\Longrightarrow ((s=1)\vee(s=p_1))\big)\wedge(p_2=st\Longrightarrow((s=1)\vee(s=p_2))\Big)\bigg)\Bigg]}\)

(ale to może być niedozwolone ze względu na symbole w \(\displaystyle{ \setminus \{0,1\}}\)).

Więc, aby nie odbiegać od definicji NWW należałoby w tym przypadku zastąpić \(\displaystyle{ a \le b}\) wyrażeniem:\(\displaystyle{ \exists_{c\in\mathbb{N}}:ac=b}\) ?

Tak, choć myślę, że Twoja wersja jak najbardziej zostałaby uznana (moja uwaga była raczej ciekawostką na przyszłość).

JK