edutomek pisze: ↑3 paź 2021, o 05:33
Bo dla mnie implikacja jest równoważna z wnioskowaniem (takie synonimy).
Kiedy przeczytałem o tych tabelkach prawdy (skądinąd nienawidzę ich; ...
Tabelki zero-jedynkowe są bardzo dobre pod warunkiem fundamentalnie innego ich rozumienia.
Przykład:
Zdefiniujmy sobie zero-jedynkowo dwa znaczki inaczej niż to jest we współczesnej matematyce (to nam wolno) i zobaczmy jak pięknie pasują do otaczającej nas rzeczywistości.
1.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\)
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) = warunek wystarczający, zajście
\(\displaystyle{ p}\) jest wystarczające
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) dla zajścia
\(\displaystyle{ q}\)
2.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku koniecznego
\(\displaystyle{ \rightarrow }\)
\(\displaystyle{ p \rightarrow q = p+ \neg q}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) = warunek konieczny, zajście
\(\displaystyle{ p}\) jest konieczne
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) dla zajścia
\(\displaystyle{ q}\)
Stąd w rachunku zero-jedynkowym łatwo wyprowadzamy matematyczny związek między warunkiem wystarczającym
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) i koniecznym
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) z zamianą poprzednika
\(\displaystyle{ p}\) z następnikiem
\(\displaystyle{ q}\)
Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = q \rightarrow p}\)
Powyższe prawo można też udowodnić bez tabel zero-jedynkowych korzystając z definicji warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) i koniecznego
\(\displaystyle{ \rightarrow }\):
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p + q = q \rightarrow p}\)
Na mocy definicji znaczków
\(\displaystyle{ \Rightarrow i \rightarrow}\)
cnd
Teraz zobaczmy jak wyprowadzony związek między warunkiem wystarczającym
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) i koniecznym
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) absolutnie genialnie pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Wypowiedzmy zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\):
\(\displaystyle{ A1}\).
Jeśli jutro będzie padało
\(\displaystyle{ (P)}\) to na 100%
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) będzie pochmurno
\(\displaystyle{ (CH)}\)
\(\displaystyle{ P \Rightarrow CH =1}\)
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Skorzystajmy z wyprowadzonego wyżej prawa rachunku zero-jedynkowego.
\(\displaystyle{ A1: P \Rightarrow CH = A3: CH \rightarrow P}\)
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego prawdziwe zdanie
\(\displaystyle{ A1}\) (co udowodniliśmy) wymusza prawdziwe zdanie
\(\displaystyle{ A3}\) (albo odwrotnie).
Wypowiedzmy prawdziwe zdanie
\(\displaystyle{ A3}\):
\(\displaystyle{ A3}\).
Jeśli jutro będzie pochmurno
\(\displaystyle{ (CH)}\) to może
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) padać
\(\displaystyle{ (P)}\)
\(\displaystyle{ CH \rightarrow P =1}\)
Chmury są (=1) warunkiem koniecznym
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Prawda, że proste?
Dodano po 15 godzinach 14 minutach 30 sekundach:
UWAGA:
W nawiązaniu do mojego postu wyżej podaję rozpiskę warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) i koniecznego
\(\displaystyle{ \rightarrow }\) na tabele zero jedynkowe.
1.
Definicja warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\):
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Definicja warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) w tabeli zero-jedynkowej wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
p&q&p \Rightarrow q\\
1&1&1 \\
1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&1\\
\end{array}}\)
2.
Definicja warunku koniecznego
\(\displaystyle{ \rightarrow }\):
\(\displaystyle{ p \rightarrow q = p+ \neg q}\)
Definicja warunku koniecznego
\(\displaystyle{ \rightarrow}\) w tabeli zero-jedynkowej wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
p&q&p \rightarrow q\\
1&1&1 \\
1&0&1\\
0&0&1\\
0&1&0\\
\end{array}}\)
Prawo rachunku zero-jedynkowego zapisane w moim poście wyżej:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = q \rightarrow p}\)
Mam nadzieję, że po tej podpowiedzi każdy, kto zna rachunek zero-jedynkowy bez problemu udowodni powyższe prawo.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (na przykład
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) i
\(\displaystyle{ p \rightarrow q}\)) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Oczywistym jest, że na mocy definicji zachodzi:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\) ##
\(\displaystyle{ p \rightarrow q = p+ \neg q}\)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ławo sprawdzić, że definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest tu spełniona.
Innymi słowy:
Warunek wystarczający
\(\displaystyle{ \Rightarrow }\) to fundamentalnie co innego niż warunek konieczny
\(\displaystyle{ \rightarrow }\)