Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: \(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\) jest tautologią bez pomocy tabelki?
Ostatnio zmieniony 13 cze 2021, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne \(\displaystyle{ p, q}\). W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.
Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
\(\displaystyle{ ((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)}\)
Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Dla uproszczenia tworzymy wewnętrzną funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo \(\displaystyle{ Y}\))
1.
\(\displaystyle{ ((Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p)) \Rightarrow p)}\)
2.
\(\displaystyle{ Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) = ( \neg p+q) \Rightarrow p)}\)
\(\displaystyle{ Y = ( \neg p+q) \Rightarrow p)= \neg (\neg p+q)+p}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q)+p = p* \neg q + p}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p = p* (\neg q +1)}\)
\(\displaystyle{ Y = p}\)
Podstawiając do 1 mamy:
\(\displaystyle{ p=>p = \neg p+p =1}\)
cnd
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Na wszelki wypadek zwrócę uwagę oli_, żeby raczej nie próbowała nikomu przedstawiać tego (skądinąd poprawnego, jeżeli zostanie poprawnie zapisane) rozumowania w tej wersji.rafal3006 pisze: ↑22 cze 2021, o 00:24Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Dla uproszczenia tworzymy wewnętrzną funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo \(\displaystyle{ Y}\))
1.
\(\displaystyle{ ((Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p)) \Rightarrow p)}\)
2.
\(\displaystyle{ Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) = ( \neg p+q) \Rightarrow p)}\)
\(\displaystyle{ Y = ( \neg p+q) \Rightarrow p)= \neg (\neg p+q)+p}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q)+p = p* \neg q + p}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p = p* (\neg q +1)}\)
\(\displaystyle{ Y = p}\)
Podstawiając do 1 mamy:
\(\displaystyle{ p=>p = \neg p+p =1}\)
cnd
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić.
Zauważmy, że w samym przykładzie skrajne nawiasy są zbędne bo w matematyce nawiasy mają najwyższy priorytet wykonania.
Stąd:
Równie poprawny jest zapis
\(\displaystyle{ (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p}\)
W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, \(\displaystyle{ *, +}\)
Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
Zróbmy czysto matematyczne podstawienie:
\(\displaystyle{ Y = (p \Rightarrow q) \Rightarrow p}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ (Y) \Rightarrow p}\)
Obliczamy \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ Y = (p \Rightarrow q) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ Y= ( \neg p+q) \Rightarrow p}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ Y = \neg (\neg p+q) +p}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p}\) - na mocy prawa De Morgana
\(\displaystyle{ Y = p* \neg q + p*1}\) - prawo algebry Boole'a: \(\displaystyle{ p=p*1}\)
\(\displaystyle{ Y = p*( \neg q+1)}\) - wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
\(\displaystyle{ Y = p*1}\) - bo prawo algebry Boole'a \(\displaystyle{ x+1 =1}\), gdzie x=dowolne wyrażenie algebry Boole'a
\(\displaystyle{ Y=p}\) - prawo algebry Boole'a: \(\displaystyle{ p=p*1}\)
Odtwarzając podstawienie mamy:
\(\displaystyle{ (Y) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ (p) \Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ p \Rightarrow p = \neg p+p =1}\) - na mocy definicji znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
oraz prawa algebry Boole'a:
\(\displaystyle{ \neg p+p =1}\)
cnd
Moje uwagi:
1.
Jestem absolwentem elektroniki specjalność automatyka na Politechnice Warszawskiej
Dla mnie, jako przybysza ze świata techniki powyższy dowód to elementarz algebry Boole'a wzbogaconej o definicję znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.
Definicja znaczka \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) :
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\)
2.
Schemat dowodu proponowany wyżej:
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etcDasio11 pisze: ↑13 cze 2021, o 13:44 Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne \(\displaystyle{ p, q}\). W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.
Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
Ciekawostka:
Skończyłem elektronikę na PW-wa w roku 1980 gdzie algebra Boole’a wykładana była na najwyższym światowym poziomie a takie terminy jak „Klasyczny Rachunek Zdań”, „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu ziemskiej logiki matematycznej usłyszałem po raz pierwszy w życiu w roku 2006, czyli 26 lat po skończeniu studiów.
Usłyszawszy takie zdania prawdziwe w ziemskiej logice matematycznej jak:
Kod: Zaznacz cały
https://www.salon24.pl/u/disamis/540547,falsum-sequitur-quodlibet
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
nie miałem wyjścia - musiałem wejść na serio w temat „logika matematyczna” i siedzę w tym od 15 lat. Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Ależ oczywiście, że ma.
Ale tutaj jesteś na forum matematycznym, więc powinieneś używać terminologii matematycznej, w której nie ma działań, tylko spójniki logiczne, które mają inne priorytety. Bez tego nie pomagasz osobie, które zadała pytanie, bo produkujesz rozwiązanie, które z jej punktu widzenia jest mało przydatne.
Dla matematyka to nie jest "definicja znaczka", tylko prawo eliminacji implikacji.
Nie chodzi o to, że Twoje rachunki są niepoprawne, tylko o to, że używasz innego języka (jak sam zauważasz) i w związku z tym nie jesteś pomocny.
No ale to Twój problem.
Ale na pewno nie w tym wątku, bo on jest poświęcony czemu innemu.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 11 mar 2007, o 19:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Re: Wykazać że jest tautologią bez tabeli
Zgadzam się z powyższymi uwagami.
Póki co dziękuję, bowiem ciągle pracują nad doskonaleniem tego co robię - nie mam jeszcze gotowego produktu, na bazie którego mógłbym dyskutować z matematykami.
Jak skończę, to mam nadzieję, że w innym temacie będę mógł na matematyce.pl przedstawić inną wizję logiki matematycznej, niż obecnie obowiązująca.
Póki co dziękuję, bowiem ciągle pracują nad doskonaleniem tego co robię - nie mam jeszcze gotowego produktu, na bazie którego mógłbym dyskutować z matematykami.
Jak skończę, to mam nadzieję, że w innym temacie będę mógł na matematyce.pl przedstawić inną wizję logiki matematycznej, niż obecnie obowiązująca.