Kwantyfikatory

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
iapko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 1 gru 2020, o 14:12
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 13 razy

Kwantyfikatory

Post autor: iapko »

\(\displaystyle{ \exists t \in T \exists s \in S : (x \in A _t \wedge x \in B _s)}\)

Czy w tego typu zapisie mogę równoważnie "wprowadzić" pod nawias najpierw wewnętrzny, potem zewnętrzny kwantyfikator przed zdania z \(\displaystyle{ x}\) do których się odnoszą?
tzn. \(\displaystyle{ \exists t \in T x \in A_t \wedge \exists s \in S x \in B _s}\)
Czy muszę najpierw rozbić wewnętrzny kwantyfikator na obydwa zdania z \(\displaystyle{ x}\) (oczywiście nie równoważnie), a później tak samo zewnętrzny, i mieć po dwa kwantyfikatory przy każdym zdaniu z \(\displaystyle{ x}\)?

Analogicznie, co robić w przypadkach, gdy coś pod kwantyfikatorem nie jest od niego zależne, np.
\(\displaystyle{ \forall t \in T (x \in A_t \vee x \in B}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) nie jest uzależnione od \(\displaystyle{ t}\), to czy można równoważnie zapisać kwantyfikator tylko przed \(\displaystyle{ x \in A_t}\) i zostawić alternatywę?

Czy też przekształcić na \(\displaystyle{ \forall t \in T x \in A_t \vee \forall t\in T x \in B)}\) po implikacji? A jeżeli tak, to znowu, skoro \(\displaystyle{ B}\) niezależny od \(\displaystyle{ t}\) to można ten kwantyfikator pominąć w następnej linijce i zapisać \(\displaystyle{ \forall t \in T x \in A_t \vee x \in B}\)?
Ostatnio zmieniony 1 gru 2020, o 15:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj poprawnie indeksów dolnych. Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Kwantyfikatory

Post autor: Jan Kraszewski »

iapko pisze: 1 gru 2020, o 15:48Czy w tego typu zapisie mogę równoważnie "wprowadzić" pod nawias najpierw wewnętrzny, potem zewnętrzny kwantyfikator przed zdania z \(\displaystyle{ x}\) do których się odnoszą?
tzn. \(\displaystyle{ \exists t \in T x \in A_t \wedge \exists s \in S x \in B _s}\)
Możesz od razu "wprowadzić". Twierdzenie mówi, że jeśli w formule \(\displaystyle{ \psi}\) zmienna \(\displaystyle{ x}\) nie jest zmienną wolną, to

\(\displaystyle{ (\exists x)(\varphi(x)\land \psi) \Leftrightarrow \psi\land (\exists x)\varphi(x).}\)
iapko pisze: 1 gru 2020, o 15:48Czy muszę najpierw rozbić wewnętrzny kwantyfikator na obydwa zdania z \(\displaystyle{ x}\) (oczywiście nie równoważnie), a później tak samo zewnętrzny, i mieć po dwa kwantyfikatory przy każdym zdaniu z \(\displaystyle{ x}\)?
Nie powinnaś nawet, bo twierdzenie, które chciałabyś zastosować, nie daje w ogólności przejścia równoważnego.
iapko pisze: 1 gru 2020, o 15:48Analogicznie, co robić w przypadkach, gdy coś pod kwantyfikatorem nie jest od niego zależne, np.
\(\displaystyle{ \forall t \in T (x \in A_t \vee x \in B}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) nie jest uzależnione od \(\displaystyle{ t}\), to czy można równoważnie zapisać kwantyfikator tylko przed \(\displaystyle{ x \in A_t}\) i zostawić alternatywę?
Możesz. Prawdziwe jest również twierdzenie, że jeśli w formule \(\displaystyle{ \psi}\) zmienna \(\displaystyle{ x}\) nie jest zmienną wolną, to

\(\displaystyle{ (\forall x)(\varphi(x)\lor \psi) \Leftrightarrow \psi\lor (\forall x)\varphi(x).}\)
iapko pisze: 1 gru 2020, o 15:48Czy też przekształcić na \(\displaystyle{ \forall t \in T x \in A_t \vee \forall t\in T x \in B)}\) po implikacji?
Tego znów nie powinnaś robić, bo twierdzenie, które chciałabyś zastosować, nie daje w ogólności przejścia równoważnego.

JK
ODPOWIEDZ