Funkcje zdaniowe

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
raft90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2020, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Funkcje zdaniowe

Post autor: raft90 »

proszę o pomoc
1) Przy użyciu symboli \(\displaystyle{ 0,1,+,·, \le ,| }\) oraz symboli logicznych zapisz następujące funkcje zdaniowe:
a) \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą parzystą,
b) \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą,
c) \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą złożoną,
d) \(\displaystyle{ x=NWD(y,z)}\),
e) każde dwie liczby mają NWW,
f) nie istnieje największa liczba pierwsza,
g) każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych,
h) każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych

2) Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) liczb rzeczywistych. Za pomocą symboli logicznych oraz symboli \(\displaystyle{ =, <,\le,+,\cdot,\QQ }\) zapisz następujące formuły:
a) kwadrat każdej liczby jest nieujemny,
b) liczba \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\),
c) \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą złożoną,
d) pomiędzy dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna

3) Naszkicuj w układzie współrzędnych następujące podzbiory płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR}\). Zbadaj, czy podana relacja \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją. Jeśli tak, określ jej dziedzinę i przeciwdziedzinę. Jeśli nie, wyjaśnij dlaczego.
\(\displaystyle{
(a)\ R \subset \RR\times\RR,R=\left\{ (x,y) : x^{2} = y^{2} \right\}
}\)

\(\displaystyle{
(b)\ R \subset \RR\times\RR,R=\left\{ (x,y) : x^{3} = y^{3} \right\}
}\)

\(\displaystyle{
(c)\ R \subset \RR\times\RR,R=\left\{ (x,y) :x= y^{2} \right\}
}\)

\(\displaystyle{
(d)\ R \subset \RR\times\RR,R=\left\{ (x,y) :x= 2^{y} \right\}
}\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2020, o 10:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: Jan Kraszewski »

To pokaż, co już sam zrobiłeś.

JK
raft90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2020, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: raft90 »

Nie za bardzo wiem, jak takie zadania robić. Zrobiłem takie 2 przykłady, ale nie wiem czy o to chodzi :/
2
a) \(\displaystyle{ \forall x \in \RR (x\cdot x<0) }\)
b) \(\displaystyle{ \forall (x \mid n \Rightarrow (x=n \vee x=1)]
}\)

PS. w 1 i 2 zadaniu w poleceniu zamiast '' 6'' powinno być \(\displaystyle{ \le }\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2020, o 10:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: Jan Kraszewski »

raft90 pisze: 10 lis 2020, o 09:462a) \(\displaystyle{ \forall x \in \RR (x\cdot x<0) }\)
Idziesz w dobrym kierunku, ale ten kwadrat miał być nieujemny, a nie ujemny.
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 09:461b) \(\displaystyle{ \forall (x \mid n \Rightarrow (x=n \vee x=1)]
}\)
To zaś jest zupełnie źle (składniowo), bo kwantyfikator musi kwantyfikować jakąś zmienną. Poza tym miałeś napisać, że to \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą, a Ty wyraźnie próbujesz napisać, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą.

Próbuj dalej.

JK
raft90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2020, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: raft90 »

A teraz?
2.
\(\displaystyle{
a) a_{\forall x\in\RR} x^{2} ≥0
}\)

\(\displaystyle{
b) \forall a_{x\in A} x≤a
}\)

\(\displaystyle{
c) \exists_{y\in\ZZ} (1<y<x∧y|x)
}\)

\(\displaystyle{
d) \forall_{x_1, x_{2}\in\RR} \exists_{y\in\QQ} (x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{1} <y< x_{2} )
}\)


3.
a) obrazem relacji są proste \(\displaystyle{ y=x }\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\),nie jest funkcją
b) obrazem jest \(\displaystyle{ y=x}\), jest funkcją \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR }\), wzór \(\displaystyle{ f(x) = x }\)
c) parabola o wierzchołku \(\displaystyle{ (0,0)}\)
d) krzywa wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)=\log _{2} x, f: \RR_{+} \rightarrow \RR }\)


A pierwsze zacząłem, ale znów nie wiem jak z kolejnymi..
1)
a) \(\displaystyle{ \forall x\in\RR(x⋅x>0) }\)
b) \(\displaystyle{ \exists k\in\NN(x\ne k\land k|x) }\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2020, o 17:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: JHN »

Potrzebna weryfikacja postu z innego forum? To przepisałbyś go chociaż poprawnie!

Pozdrawiam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Funkcje zdaniowe

Post autor: Jan Kraszewski »

raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:012.
\(\displaystyle{
a) a_{\forall x\in\RR} x^{2} ≥0
}\)

\(\displaystyle{
b) \forall a_{x\in A} x≤a
}\)
A co niby mają oznaczać te znaczki?
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:01\(\displaystyle{
c) \exists_{y\in\ZZ} (1<y<x\land y|x)
}\)
Ten podpunkt powinien być w zadaniu 1. Jest OK.
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:01\(\displaystyle{
d) \forall_{x_1, x_{2}\in\RR} \exists_{y\in\QQ} (x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{1} <y< x_{2} )
}\)
Zdecydowanie lepiej wygląda

\(\displaystyle{ \forall_{x_1, x_{2}\in\RR} (x_{1} < x_{2} \Rightarrow \exists_{y\in\QQ} x_{1} <y< x_{2} )}\),

ale Twoja wersja jest równoważna.
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:013.
a) obrazem relacji są proste \(\displaystyle{ y=x }\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\),nie jest funkcją
b) obrazem jest \(\displaystyle{ y=x}\), jest funkcją \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR }\), wzór \(\displaystyle{ f(x) = x }\)
Nie obrazem, tylko wykresem (relacji). Poza tym OK (tyle, że nie \(\displaystyle{ f}\) tylko \(\displaystyle{ R}\)).
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:01c) parabola o wierzchołku \(\displaystyle{ (0,0)}\)
A dokładniej? Jest dużo różnych parabol o tym wierzchołku.
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:01 d) krzywa wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)=\log _{2} x, f: \RR_{+} \rightarrow \RR }\)
Dobrze (tyle, że nie \(\displaystyle{ f}\) tylko \(\displaystyle{ R}\)).
raft90 pisze: 10 lis 2020, o 14:01A pierwsze zacząłem, ale znów nie wiem jak z kolejnymi..
1)
a) \(\displaystyle{ \forall x\in\RR(x⋅x>0) }\)
b) \(\displaystyle{ \exists k\in\NN(x\ne k\land k|x) }\)
a) - co to ma wspólnego z parzystością?
b) - co to ma wspólnego z tym, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą?

JK
ODPOWIEDZ