Sortowanie zmiennych w równoważności

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 413
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 22 razy

Sortowanie zmiennych w równoważności

Post autor: xxDorianxx »

Wykaż, że jeśli wyrażenie nie zawiera innych spójników niż \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\), to zamieniając w nim w sposób dowolny nawiasy oraz zmienne to otrzymamy formułę równoważną.

Odchodzą troszkę od tematu w algebrze jeśli mamy jakąkolwiek grupę abelową (zwracam uwagę na warunek łączności) np grupa: \(\displaystyle{ \left( \RR, + \right)}\) to z podanych przeze mnie warunków możemy sobie wyrażenie: \(\displaystyle{ a+b+c+d+...}\) dodawać w dowolnej kolejności i nie było z tym nigdy problemu. Zatem pytanie, czy jeśli pokażę, że równoważność jest przemienna i łączna tzn wykaże dwa poniższe fakty:
\(\displaystyle{ 1. p \Leftrightarrow q \hspace{0.3 cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3 cm} q \Leftrightarrow p}\)
2. \(\displaystyle{ a \Leftrightarrow \left( b \Leftrightarrow c\right) \hspace{0.3 cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3 cm} \left( a \Leftrightarrow b\right) \Leftrightarrow c }\)
To załatwi mi zadanie?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Sortowanie zmiennych w równoważności

Post autor: matmatmm »

xxDorianxx pisze: 5 lis 2020, o 17:28 Zatem pytanie, czy jeśli pokażę, że równoważność jest przemienna i łączna tzn wykaże dwa poniższe fakty:
\(\displaystyle{ 1. p \Leftrightarrow q \hspace{0.3 cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3 cm} q \Leftrightarrow p}\)
2. \(\displaystyle{ a \Leftrightarrow \left( b \Leftrightarrow c\right) \hspace{0.3 cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3 cm} \left( a \Leftrightarrow b\right) \Leftrightarrow c }\)
Powinieneś zdawać sobie sprawę z tego, że to nie są fakty, a jedynie formuły (do tego zapisane bez koniecznych nawiasów). Pewnie miałeś na myśli fakt, że te formuły to tautologie.
To załatwi mi zadanie?
To zależy jak wysoki poziom formalizmu jest oczekiwany, gdyż sformułowanie
xxDorianxx pisze: 5 lis 2020, o 17:28 (...) zamieniając w nim w sposób dowolny nawiasy oraz zmienne (...)
mimo, że intuicyjnie jest jasne, to ma skomplikowany opis formalny. W tym temacie Uogólniona łączność. zaproponowałem opis formalny dowolnego rozstawienia nawiasów dla działania w grupie, a tutaj Łączność działania- niepotrzebne nawiasy jest dowód, że jeśli działanie jest łączne, to wartość działania nie zależy od rozstawienia nawiasów. Dowód ten nie odwołuje się do formalnej definicji, lecz moim zdaniem nie ma takiej potrzeby i jest on poprawny.

Aby przenieść dowód dla działania grupowego na dowód dla formuł z równoważnością, potrzebne są jeszcze dla fakty:

1. Jeśli formuły \(\displaystyle{ \phi,\phi'}\) są równoważne oraz \(\displaystyle{ \psi}\) jest dowolną formułą, to \(\displaystyle{ \phi \iff \psi}\) jest formułą równoważną z \(\displaystyle{ \phi'\iff \psi}\), a \(\displaystyle{ \psi\iff\phi}\) jest formułą równoważną z \(\displaystyle{ \psi\iff\phi'}\).

2. Jeśli \(\displaystyle{ \phi,\psi,\chi}\) są dowolnymi formułami, to \(\displaystyle{ (\phi\iff\psi)\iff \chi}\) jest formułą równoważną \(\displaystyle{ \phi\iff(\psi\iff \chi)}\)

Podane przeze mnie wskazówki dotyczą jedynie łączności. Jeśli chodzi o przemienność to przyznam, że się nad tym nie zastanawiałem.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2020, o 19:42 przez matmatmm, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 413
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 22 razy

Re: Sortowanie zmiennych w równoważności

Post autor: xxDorianxx »

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Zależało mi na wysokim formalizmie dlatego linki wyczerpują moją ciekawość w tym temacie :D
ODPOWIEDZ